x? - y2练习不存在证明limox?+y?J-0解：当点P(xy)沿x轴趋于原点O(O,O)，此时，y=0x?- y?limlim1一L2(x,)-(0,0) x2 + yx-0xJ=0当点P(x,y)沿y轴趋于原点O(0,O)，此时，x=0,x? -y?limlim(x,j)-(0,0) x2 + y2-0x=0故，原极限不存在，得证-26-
2 2 2 2 0 0 lim . x y x y x y 练习 证明 不存在 解 : 当点 沿 轴趋于原点 此时 Pxy x O y ( , ) (0,0) 0 ， 22 2 22 2 ( , ) (0,0) 0 0 lim lim 1 x y x y xy x xy x 当点 沿 轴趋于原点 此时 Pxy y O x ( , ) (0,0) 0 ， 22 2 22 2 ( , ) (0,0) 0 0 lim lim 1 x y y x xy y xy y 故 原极限不存在 得证 ， ， . -26-
★二元函数求极限的方法：注1：多元函数与一元函数有类似的极限运算法则。sin(xy)sin(xy)sin(xy)lim y= 2例 5 limlimlimJ=x-0xy-0x->0J-2xxyxyJ-2J->2x+ylim [(x2 + y°)e-(*+) ] = lim例6X-→+80ertyX-→+00y→+oy-→+8xlim二=(0.0+0.0)=0XejX-→+00ePy-→+0-27-
★ 二元函数求极限的方法： 0 2 sin( ) 5 limx y xy x 例 0 2 sin( ) limx y xy y xy 0 2 sin( ) lim lim 2 xy y xy y xy -27 - 注1：多元函数与一元函数 有类似的极限运算法则 。 2 2 () + + 6 lim [( ) ] x y x y x ye 例 2 2 + + lim x y x y x y e = =(0 0+0 0)=0 2 2 + + 1 1 lim ( ) x y y x x y x y ee ee =
注2：无穷小量与有界函数的乘积仍是无穷小量2Vxy?+1 -1例 7 lim=lim2+y2x->0xx-0(x? + y)(/xy?+1 +1)y-0V-0中V: lim x? = 0,=0.lim≤12222-0X-0x+yx"+yJ->01而 lim故，原式=02x-0J=0 Vx3y2+1+1-28-
注2： 无穷小量与有界函数的乘积仍是无穷小量 2 2 2 2 0 0 +1 1 limx y x y x y 例 7 2 2 0 2 2 22 0 lim ( )( +1 1) x y x y x y xy = 0 2 2 0 1 1 lim = +1 1 2 x y x y 而 ， 2 2 2 2 0 lim 0 1 x y x x y ， 故 原式 ， =0 2 2 2 2 0 0 lim =0. x y x y x y -28 -
注3利用夹逼准则22xy例8lim22X-0+yJ-0x3y22V≤y0LV12x? + y2Ox-十Vx而 lim y2=0=0.故，lim22X-0x-0x+y-0J-0-29
注 3 利用夹逼准则 2 2 2 2 0 0 8 lim x y x y x y 例 2 2 2 2 2 0 x y y x y 2 2 2 2 2 x y y x y ， 2 2 2 2 0 0 lim =0. x y x y x y 2 故， 0 0 lim 0 x y y 而 -29-
sin(xy)练习 求 limx?+y?X-0J-0xysin(xy)解原式=limxyx? + y2X-0y-0sin(xsin(xy)y=1lim其中，limxyxyx-0x2y→0J-0x22xx1Llim.2=00≤UA2x-→0x+y+yx-xy-0sin(x y)= 0...limx?+yx-0J->0-30-
2 2 2 0 0 sin( ) limx y x y x y 练 习 求 解 2 2 2 22 0 0 sin( ) limx y xy xy xy x y 原式 2 2 2 2 2 0 0 0 sin( ) sin( ) lim lim 1 x x y y xy xy xy xy 其中 ， ， 2 2 2 0 x y x y 2 2 2 2 1 ( ) 1 2 2 xx y x x y 2 2 2 0 0 lim 0. x y x y x y 2 2 2 0 0 sin( ) lim 0. x y x y x y -30 -