举例z=sinxyD=((x,y)xeR,yeR)z = /1- x2 - y2D= (x, y)x? +y2 ≤1)-16-
举 例 2 2 2 2 {(, ) 1} 1 D xy y x y x z {( , ) , in } s D xy x R z x y R y -16-
z=-1+(x? +y)D=((x,y)xeR,yeR)z =1-/x? +y2D=((x,y)xeR,yeR)-17-
2 2 {( ( ) ,) , } 1 D xy x R z xy y R 2 2 {(, ) , } 1 D xy y R x x Ry z -17-
三、多元函数的极限回顾一元函数：limf(x)=A设f(x)在xo点某去心邻域内有定义，A为一常数，>0，S>0，使当0<x-x<时，恒有If(x) - A|<8,则称A为f(x)当x一→x的极限对于二元函数z=f(x,y)，也有类似的极限定义-18-
三、多元函数的极限 0 lim ( ) . x x f x A 回顾一元函数： 0 设 在 点某去心邻域内有定义 为一常数 fx x A ( ) ， ， 0 0 00 ， ， 使当 时 恒有 x x fx A ( ) ， 0 则称 为 当 的极限 A fx x x () . 对于二元函数 也有类似的极限定义 z f xy (, ) . ， -18 -
二元函数极限的定义（ε-S语言）设z=f(x,y)的定义域为D，P(xo,yo)是D的聚点V>0,3S>0,当P(x,y)DnU(P,8)时,即,0 <PP =/(x-x) +(y- yo) <8,恒有 Lf(P)-AHf(x,y)-A<ε,则称A为z=f(x,y)当(x,y)→(xo,)时的极限记作lim f(x,y)= A 或 f(x,y)→A, (x,y)→(xo,yo);X-→Xoy-yo也记作lim f(P)= A 或 f(P)→A, P→PP-Po-19-
二元函数极限的定义 ( ) 语言 000 0 2 2 000 0 0 (, ) ( , ) 0 0 (, ) ( , δ) 0| | ( ) ( ) | (, ) (, ) ( , ) ( ) || (, ) | . z f xy D P x y D Pxy D U P PP x A z fx x yy f P A f xy y x A y xy 设 的定义域为 ， 是 的聚点. ， ，当 时，即， ， 恒有 ， 则称 为 当 时的极限 0 0 0 0 lim ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x x y y f xy A f xy A xy x y 记作 或 ， ； -19- 0 0 lim ( ) ( ) . P P f P A fP AP P 也记作 或 ，
说明：(1）二元函数的极限也叫二重极限：(2) lim f(P) = AP->PoP以任意方式趋于P时，f(P)→A-20-
说明： (1) 二元函数的极限也叫二重极限； 0 0 (2) lim ( ) () . P P fP A P P fP A 以任意方式趋于 时， P0 -20-