1)分封AB△s,(=1,2,…n) 2)近似M1≈1(x,y)△ 3)求和M=∑M≈∑(x,y)△s (近似值) 4)取极限x=max(△s) M=lim2(x,y)△s,(精确值) 2->0
1) 分割 = s i n i , 1,2, ( ) 2)近似 ( , ) . M x y s i i i i : 1 ( , ) . n i i i i x y s = (近似值 ) 4)取极限 0 1 lim ( , ) . n i i i i M x y s → = = (精确值 ) max( ). i = s AB 1n i i M M= 3)求和 =
1.对弧长的曲线积分定义 定义设L是xOy面内一条光滑曲线狐, 函数f(x,y)在L上有界, 将L任意分成n个小弧段 可求长 41,42…,4141,…,A,A1,长为△s1 在小弧段A,A上任取一点(5,), 作乘积f(,m)△s;
定义 1.对弧长的曲线积分定义 设L是 xoy 面内一条光滑曲线弧, 将L任意分成 n个小弧段: 在小弧段 上任取一点 ( , ), i i , , 0 1 A A , 1 2 A A , 1 , A A i− i 1 , A A n n − i 1 i A A− 可求长 函数 f x y ( , ) 在L上有界， , i 长为s 作乘积 ( , ) , i i i f s
并作和式∑f(5,m)△ 如果和式极限 址f(5,A(x=mx{△9}) 存在,则称此极限为函数f(x,y) 在曲线L上的对弧长的曲 或第一类曲线积分
( = max{ }si ) 0 1 lim ( , ) n i i i i f s → = 则称此极限为函数 f x y ( , ) 在曲线L上的对弧长的曲线积分 或第一类曲线积分. 如果和式极限 存在， 1 ( , ) . n i i i i f s = 并作和式
记为 被积函数 m∑f(5,n)△s=「f(x,y)s.( 1→>0 M=im>(x,y)△,孤长微元 → 0 可表为 曲线形构件的质量M=(x,y)ls
曲线形构件的质量 ( , ) . L M x y ds = 记为 0 1 lim ( , ) ( , ) . n i i i L i f s f x y ds → = = 被积函数 积分和式 积分弧段 弧长微元 0 1 lim ( , ) . n i i i i M x y s → = = 根据对弧长的曲线积分定义,可表为 (1)
D.(xy)=∑/(5,m),A,面 注1推广户 沿空间曲线r的对弧长曲线积分为 f(,y,2)d=in∑f(5,m,5)△s x→>01i=1 对弧长的曲线积分统一记为 f(p)ds L
0 1 ( , , ) lim ( , , ) . n i i i i i f x y z ds f s → = = 曲线积分为 0 1 ( , ) lim ( , ) . n i i i L i f x y ds f s → = = 平面 推广: 沿空间曲线 的对弧长 注1 对弧长的曲线积分统一记为 ( ) L f P ds