复旦大学：《高等数学》课程教学资源（习题解答）Euclid空间与酉空间练习题

Euclid空间与酉空间练习题81内积1. 设x =(1, -2, 2, 3), y=(3, 1, 5, 1)T（1）求x与y的夹角：（2）求与x和y都垂直的全部向量。2.将向量组a, =(1, - 2, 2),a, =(-1, 0, -1),a, =(5, -3, -7)化为正交的单位向量组。3.设B是5×4矩阵，且rank（B）=2。已知齐次线性方程组Bx=0的三个解向量为ar =(1, 1, 2, 3), a2 =(-1, 1, 4, -1),a, =(5, -1, -8, 9)7求Bx=0的解空间的一个标准正交基。4.已知齐次线性方程组X-x+x =0[X2-x=0（1）求该方程组的解空间的的一个标准正交基：(2)求与该方程组的解空间中向量都正交的全部向量。3d17325.己知Q为正交矩阵，求a，b，c，d。二32776.已知a,az，a,是R的标准正交基，证明：br ==(2a, +2az -a,), b, =-(2a,-az +2a,),b, =(a -2az-2a,)也是R的标准正交基。7.设A，B是n阶正交矩阵且IA-IBI，证明IA+B=0。8.设A为n阶实对称矩阵，且满足A2+4A+3I=0。证明A+2I是正交矩阵。9.设A=(a,）m为正交矩阵，问A的元素a,与其代数余子式A,有何关系？10.设a为n维实列向量，且aa=1。证明A=I-2aa为正交矩阵。11.设A是n阶实反对称矩阵。证明：若对于n维实列向量x，y有Ax=y，则x与y正交。12.设A是n阶实对称矩阵，B是n阶实反对称矩阵，且A+B可逆，AB=BA。证明(A+B)(A-B)-是正交矩阵。13.设a,a2,as,a是R的标准正交基，A是R上的线性变换满足

Euclid空间与酉空间练习题 §1 内积 1．设 T x  (1,  2, 2, 3) ， T y  (3, 1, 5, 1) ， （1）求 x 与 y 的夹角； （2）求与 x 和 y 都垂直的全部向量。 2．将向量组 T (1, 2, 2) a1   ， T ( 1, 0, 1) a2    ， T (5, 3, 7) a3    化为正交的单位向量组。 3．设 B 是 5 4 矩阵，且 rank (B)  2 。已知齐次线性方程组 Bx  0 的三个解向 量为 T (1, 1, 2, 3) a1  ， T ( 1, 1, 4, 1) a2    ， T (5, 1, 8, 9) a3    ， 求 Bx  0 的解空间的一个标准正交基。 4．已知齐次线性方程组         0 0, 2 4 1 3 4 x x x x x （1） 求该方程组的解空间的的一个标准正交基； （2） 求与该方程组的解空间中向量都正交的全部向量。 5．已知                         7 3 7 2 7 2 7 3 7 3 b c a d Q 为正交矩阵，求 a，b ，c，d 。 6．已知 1 2 3 a , a , a 是 3 R 的标准正交基，证明： (2 2 ) 3 1 b1  a1  a2  a3 ， (2 2 ) 3 1 b2  a1  a2  a3 ， ( 2 2 ) 3 1 b3  a1  a2  a3 也是 3 R 的标准正交基。 7．设 A ， B 是 n 阶正交矩阵且 | A|  | B | ，证明 | A B | 0。 8．设 A 为 n 阶实对称矩阵，且满足 4 3 0 2 A  A I  。证明 A 2I 是正交矩阵。 9．设  aij nn A ( ) 为正交矩阵，问 A 的元素 ij a 与其代数余子式 Aij 有何关系？ 10．设 a 为 n 维实列向量，且 a a 1 T 。证明 T A  In  2aa 为正交矩阵。 11．设 A 是 n 阶实反对称矩阵。证明：若对于 n 维实列向量 x ， y 有 Ax  y ，则 x 与 y 正交。 12．设 A 是 n 阶实对称矩阵， B 是 n 阶实反对称矩阵，且 A B 可逆， AB  BA。 证明 1 ( )( )  A B A B 是正交矩阵。 13．设 1 2 3 4 a , a , a , a 是 4 R 的标准正交基， A 是 4 R 上的线性变换满足

V2V2V6N6V6AazAa,+a+az"aa,as22663V3V3V3V3AaAa,=ata.aa46662证明A是正交变换。14.设aa2a,是R的标准正交基，求R上的正交变换A，使得A(a,) =:(a, -2a, -2a,), A(a,)==(2a, +2az -a,) 。15.已知酉空间c'中向量a,=(i 2,-1)，a,=(1,2,i)’。求与a，a,都正交的单位向量。16.证明对于C"中任意向量x，y，成立I1 x+y12 +l1 x- y= 2(11 x +I1y1) 。S2正交相似和酉相似1.对下列对称矩阵A，求出正交矩阵S，使得SIAS=A为对角阵：-3-3-1023(1)(2) A=A02.已知A=（a>0）有一个特征值1。02Ta（1）求a和其它特征值；（2）求正交矩阵S，使得STAS为对角阵。(101003.设3阶矩阵A=9B=（kI+A)，其中k为实常数，问B是否与10对角阵相似？若相似，求出这样一个对角阵。4.已知00R4?若A与B相似，（1）求a，b：（2）求正交矩阵S，使得sTAS为对角阵5.已知3阶实对称矩阵A有二重特征值1，和单重特征值-1，且(0,1,1)是对应于-1的特征向量，求A。6. 已知 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2，且 6 是A 的二重特征值，x, =(1,1, 0)x2=(2,1,1)，x,=(-1,2,-3)都是A的属于特征值 6的特征向量。（1）求A的另一个特征值和对应的特征向量；（2）求矩阵A

1 1 2 2 2 2 2 Aa  a  a ， 2 1 2 3 3 6 6 6 6 6 Aa  a  a  a ， 3 1 2 3 4 2 3 6 3 6 3 6 3 Aa   a  a  a  a ， 4 1 2 3 4 2 1 2 1 2 1 2 1 Aa  a  a  a  a 。 证明 A 是正交变换。 14．设 1 2 3 a , a , a 是 3 R 的标准正交基，求 3 R 上的正交变换 A ，使得 ( 2 2 ) 3 1 ( ) A a1  a1  a2  a3 ， (2 2 ) 3 1 ( ) A a2  a1  a2  a3 。 15．已知酉空间 3 C 中向量 T (i, 2, 1) a1   ， T (1, 2, i) a2  。求与 1 a ， 2 a 都正交的 单位向量。 16．证明对于 n C 中任意向量 x ， y ，成立 || || || || 2(|| || || || ) 2 2 2 2 x  y  x  y  x  y 。 §2 正交相似和酉相似 1. 对下列对称矩阵 A ，求出正交矩阵 S ，使得 S AS  Λ T 为对角阵： （1）            2 2 0 0 1 2 1 0 2 A ； （2）                            3 3 3 1 3 3 1 3 3 1 3 3 1 3 3 3 A 。 2．已知            a a 0 2 0 2 2 0 0 A （ a  0 ）有一个特征值 1。 （1）求 a 和其它特征值；（2）求正交矩阵 S ，使得 S AS T 为对角阵。 3．设 3 阶矩阵            1 0 1 0 2 0 1 0 1 A ， 2 B  (kI  A) ，其中 k 为实常数，问 B 是否与 对角阵相似？若相似，求出这样一个对角阵。 4．已知            1 1 1 1 1 b a b a A ，            0 0 2 0 1 0 0 0 0 B 。 若 A 与 B 相似，（1）求 a，b ；（2）求正交矩阵 S ，使得 S AS T 为对角阵。 5． 已知 3 阶实对称矩阵 A 有二重特征值 1，和单重特征值1 ，且   T 0,1,1 是对 应于1 的特征向量，求 A 。 6．已知 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2，且 6 是 A 的二重特征值， T (1, 1, 0) x1  ， T (2, 1, 1) x2  ， T ( 1, 2, 3) x3    都是 A 的属于特征值 6 的特征向量。 （1）求 A 的另一个特征值和对应的特征向量； （2）求矩阵 A

7. 已知 3 阶实对称矩阵 A 的各行之和均为 3，向量x, =(-1, 2, -1) 和x2=(0,-1,1)"都是齐次线性方程组Ax=0的解。（1）求A的特征值与特征向量；（2）求正交矩阵S，使得STAS为对角阵。00设有矩阵A：且已知3是它的特征值8.2（1）求常数x；（2）求正交矩阵S，使得（AS）（AS)为对角矩阵。9. 设A=且线性方程组Ax=b有解但不唯一。（1）求a的值；（2）求正交矩阵S，使得STAS为对角阵。10.设A是n阶实对称矩阵，满足A2=I.，且 rank(A+I）=2，求A相似的对角阵。11．设n阶实矩阵A有n个相互正交的实特征向量，证明A是对称矩阵12．设A，B是n阶矩阵，且有相同的特征值。证明：若A有n个相异特征值，则存在n阶可逆矩阵P和n阶矩阵Q，使得A=PQ，B=QP。13.设a，b是3维单位实列向量，且aTb=0。记A=abT+ba，证明A与对角阵相似。14.已知Hermite矩阵求酉矩阵U，使得UHAU为对角阵。15．证明n阶矩阵A 是正规矩阵的充分必要条件是：对于任意n为列向量x，成立Il Ax I- A"x II 。16.设n阶矩阵A的特征值为入，2，，2，求矩阵aA?+bA+cl的行列式

7．已知 3 阶实对称矩阵 A 的各行之和均为 3，向量 T ( 1, 2, 1) x1    和 T (0, 1, 1) x2   都是齐次线性方程组 Ax  0 的解。 （1） 求 A 的特征值与特征向量； （2） 求正交矩阵 S ，使得 S AS T 为对角阵。 8．设有矩阵                1 2 1 1 0 0 1 x A ，且已知 3 是它的特征值。 （1）求常数 x ；（2）求正交矩阵 S ，使得 (AS) (AS) T 为对角矩阵。 9．设            1 1 1 1 1 1 a a a A ,             2 1 1 b ，且线性方程组 Ax  b 有解但不唯一。 （1）求 a 的值；（2）求正交矩阵 S ，使得 S AS T 为对角阵。 10．设 A 是 n 阶实对称矩阵，满足 n A  I 2 ，且 rank (A  I n )  2 ，求 A 相似的对 角阵。 11．设 n 阶实矩阵 A 有 n 个相互正交的实特征向量，证明 A 是对称矩阵。 12．设 A ， B 是 n 阶矩阵，且有相同的特征值。证明：若 A 有 n 个相异特征值， 则存在 n 阶可逆矩阵 P 和 n 阶矩阵 Q ，使得 A  PQ， B  QP 。 13．设 a，b 是 3 维单位实列向量，且 a b  0 T 。记 T T A  ab  ba ，证明 A 与对 角阵            0 1 1 相似。 14．已知 Hermite 矩阵           i 1 1 i A ，求酉矩阵 U ，使得 U AU H 为对角阵。 15．证明 n 阶矩阵 A 是正规矩阵的充分必要条件是：对于任意 n 为列向量 x ，成 立 || Ax || || A x || H  。 16．设 n 阶矩阵 A 的特征值为   n , , , 1 2  ，求矩阵 aA  bA cI 2 的行列式