习题12.7条件极值问题与Lagrange乘数法1.求下列函数的条件极值：(1）f(x,y)=xy，约束条件为x+y=l;(2）(x,J,2)=x-2y+2z，约束条件为x2+y2+z2=1;（3）()=号++,Jx++=,其中++，约束条件为Ax + By +Cz = 0,a>b>c>0,A2+B?+C?=1。解（1）令L(x,y,a)=xy-a(x+ y-1),求偏导，得到[L, =y-=0,L,=x-=0,(L, = -(x+ y-1)= 0,，即目标函数只有一个驻点解得x=y=2+)一，可知(3-1)是目标函数的条件极大值点，也是由xy条件最大值点，条件最大值为---÷。(2）令L(x,y,z,2)=x-2y+2z-(x +y* +22 -1) 求偏导，得到[L,=1-2x=0,L, =-2-2y=0,L,=2-22z=0,[L = -(x2 + y2 + 2? -1) = 0,161
习题 12.7 条件极值问题与 Lagrange 乘数法 1. 求下列函数的条件极值： （1） f (x, y) = xy，约束条件为 x + y = 1； （2） f (x, y,z) = x − 2y + 2z ，约束条件为 x 2 + y 2 + z 2 = 1； （ 3 ） 2 2 2 2 2 2 ( , , ) c z b y a x f x y z = + + ，约束条件为 其 中 ， 。 ⎩ ⎨ ⎧ + + = + + = 0, 1, 2 2 2 Ax By Cz x y z a > b > c > 0 1 2 2 2 A + B + C = 解 （1）令 L x( , y,λ) = − xy λ(x + y −1)， 求偏导，得到 0 0 ( 1) x y L y L x x y λ λ λ ⎧ = − = ⎪ ⎨ = − = ⎪ ⎩ = − + − = ， ， L 0, 解得 1 2 x y = = ，即目标函数只有一个驻点 1 1, 2 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠。 由 2 1 2 4 x y xy ⎛ ⎞ + ≤ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = ，可知 1 1, 2 2 ⎛ ⎜ ⎝ ⎠ ⎞ ⎟是目标函数的条件极大值点，也是 条件最大值点，条件最大值为 max 1 1 1 (,) 2 2 4 f f = = 。 （2）令 2 2 2 L x( , y,z,λ λ ) = x − 2y + − 2z (x + + y z −1)， 求偏导，得到 2 2 2 1 2 0 2 2 0 2 2 0 ( 1 x y z L x L y L z x y z λ λ λ λ ⎧ = − = ⎪ = − − = ⎪ ⎨ = − = ⎪ ⎪ ⎩ = − + + − = ， ， ， L ) 0, 161
由前三式得到y=-z=-2x，代入约束条件x2+y?+z?=1，解得一号号(x, y,=)= ±(因为满足约束条件的点集是连通紧集，目标函数连续，所以必有最大值和最小值。由于目标函数的驻点为土(,-2.3)），对应的目标函333数值为±3，所以m=八-=3，m=一-—122)=-3 。3°3°3(-33-3(3）令x2L(x, y,z,n, m) = 2- a(x? + y2 + z2 -1)- μ(Ax+ By+C2),a2+2求偏导，得到2x4--2Ax-μA=0,a?2yL,-2y-uB=0,b22zL.-2z-μC=0,c?L,= -(x2 + y2 + 22 1)= 0,Lμ = -(Ax+ By+Cz) = 0,于是(x+以,+2L)-++号-=0 。.a?b?因为满足约束条件的点集是连通紧集，目标函数连续，所以必有最大值和最小值。由上式可知最大值和最小值包含在上面的方程组关于的解中。由AL+BL,+CL=2+(++-(+B+C)=0,162
由前三式得到 y z = − = −2x，代入约束条件 x 2 + y 2 + z 2 = 1，解得 ( , x y z, ) = 1 2 2 ( , , ) 3 3 3 ± − 。 因为满足约束条件的点集是连通紧集，目标函数连续，所以必有 最大值和最小值。由于目标函数的驻点为 1 2 2 ( , , ) 3 3 3 ± − ，对应的目标函 数值为±3，所以 max 1 2 2 ( , , ) 3 3 3 3 f f = − = ， min 1 2 2 ( , , ) 3 3 3 f f = − − = −3。 （3）令 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , , , , ) ( 1) ( ) x y z L x y z x y z Ax By Cz a b c λ µ =++ − λ + + − − µ + + ， 求偏导，得到 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 0 2 2 0 ( 1 ( ) x y z x L x A a y L y B b z L z C c L x y z L Ax By Cz λ µ λ µ λ µ λ µ ⎧ = − − = ⎪ ⎪ ⎪ = − − = ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ = − − = ⎪ ⎪ = − + + − = ⎪ = − + + = ⎪ ⎪ ⎪⎩ ， ， ， ， ， ) 0 0 于是 ( ) 2 2 2 2 2 2 1 0 2 x y z x y z xL yL zL a b c + + =++ − λ = 。 因为满足约束条件的点集是连通紧集，目标函数连续，所以必有 最大值和最小值。由上式可知最大值和最小值包含在上面的方程组关 于λ 的解中。 由 2 2 2 2 2 2 2 ( x y z Ax By Cz AL BL CL A B C a b c µ ⎛ ⎞ + + = ⎜ ⎟ + + − + + = ⎝ ⎠ ) 0， 162
得到2(AxByCz(u=a2b2A?+B?+C202得到代入上面的方程组，(1- A)LABAC2=0AIX63c22α?(1- B2BCLyAB2=0b2a?c22BC(1-C2L.ACz=07163J+[2α?c2由约束条件可知驻点不在原点，即上面方程组有非零解，所以其系数行列式为零。经计算得到-[2+(+++(++)]=0baa)b2oa?显然目标函数的最大值与最小值不为零，即≠0，所以f的最大值与最小值分别为方程B2A2C22 +(A-1+B? -102+0=0a2b2b2c?a?c2b2c22的两个根。2、在周长为2p的一切三角形中，找出面积最大的三角形。解记三角形的边长为a,b,c，面积为s，则s2=p(p-a)(p-b)(p-c)。令L(a,b,c,a)=p(p-a)(p-b)(p-c)-a(a+b+c-2p),求偏导数，得到La =-p(p-b)(p-c)+^=0,L,=-p(p-a)(p-c)+=0,(L。=-p(p-a)(p-b)+=0,于是163
得到 2 2 2 2 2 2 2 Ax By Cz A B C abc µ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ + + + ⎝ ⎠ 2 2 2 2 Ax By Cz abc ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠， 代入上面的方程组，得到 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0, 2 1 0, 2 1 0 2 x y z L A AB AC x y z a b c L AB B BC x y a b c L AC BC C x y z a b c λ λ λ ⎧ ⎛ ⎞ − ⎪ = − ⎜ ⎟ − − = ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ − ⎨ = − + ⎜ ⎟ − − = ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ⎛ ⎞ − ⎪ = − − + ⎜ ⎟ − = ⎪⎩ ⎝ ⎠ 。 z 由约束条件可知驻点不在原点，即上面方程组有非零解，所以其 系数行列式为零。经计算得到 −λ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ( ) ( A B C A B C a b c b c c a a b λ λ ⎡ ⎤ − − − + + + + + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ) = 0， 显然目标函数的最大值与最小值不为零，即λ ≠ 0，所以 的最大值与 最小值分别为方程 f ) ( ) 0 1 1 1 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + + = − + − + − + a b C c a B b c A c C b B a A λ λ 的两个根。 2. 在周长为2 p 的一切三角形中，找出面积最大的三角形。 解 记三角形的边长为a, , b c，面积为S ，则 2 S p = ( ) p − − a ( p b)( p − c) 。令 L(a,b, c,λ) = − p( p a)( p − b)( p c − ) − λ(a b + + c − 2 p) ， 求偏导数，得到 ( )( ) ( )( ) ( )( ) a b c L p p b p c L p p a p c L p p a p b λ λ λ ⎧ = − − − + = ⎪ ⎨ = − − − + = ⎪ ⎩ = − − − + = 0, 0, 0, 于是 163
p-a=p-b=p-c再根据约束条件得到2a=b=c=3p,V3所以面积最大的三角形为正三角形，最大面积为93.要做一个容积为1立方米的有盖铝圆桶，什么样的尺寸才能使用料最省？解假设圆桶的底面半径为r，高为h，则圆桶的容积为元r2h=1，表面积为S=2元rh+2元2。令L(r,h,a)=2元rh+2元r2-(元rh-1),求偏导，得到[L,=2元h+4元-2元rh=0,,=2元元2=0,解得h=2r，再代入约束条件元r2h=1，得到41h=2元V元1根据题意，目标函数必有最小值，所以可知当底面半径为，高为2元时用料最省。V元4.抛物面z=x2+y?被平面x+y+z=1截成一椭圆，求原点到这个椭圆的最长距离与最短距离。解设原点到椭圆上一点的距离为d(x,y,)，则d2=x2+y+z。令L(x, y,z, ,μm) = x2 + y2 +=2 - 2(x2 + y2 -2)- μ(x+ y+z -1) ,求偏导数，得到164
p a − = p − b = p − c， 再根据约束条件得到 2 3 abc = = = p ， 所以面积最大的三角形为正三角形，最大面积为 2 9 3 p 。 3. 要做一个容积为 1 立方米的有盖铝圆桶，什么样的尺寸才能使用 料最省？ 解 假设圆桶的底面半径为 r，高为 h，则圆桶的容积为 ，表面 积为 2 π r h =1 2 S r = 2π h + 2π r 。令 2 2 L r( ,h,λ π ) = + 2 rh 2πr − λ(πr h −1)， 求偏导，得到 2 2 4 2 2 0 r h L h r rh L r r π π π λ π π λ ⎧ = + − = ⎨ ⎩ = − = ， ， 0 解得h = 2r ，再代入约束条件 2 π r h =1，得到 3 1 2 r π = ， 3 4 h π = 。 根据题意，目标函数必有最小值，所以可知当底面半径为3 2 1 π ，高为 3 4 π 时用料最省。 4. 抛物面 z = x 2 + y 2 被平面 x + y + z = 1截成一椭圆，求原点到这个椭圆 的最长距离与最短距离。 解 设原点到椭圆上一点的距离为d x( , y,z)，则 2 2 2 d x y z 2 = + + 。令 2 2 2 2 2 L x( , y,z,λ µ, ) = + x y + z − λ(x + y − z) − µ(x + y + z −1)， 求偏导数，得到 164
L,=2x-22x-μ=0,=2y-2y-μ=0,L, = 2z+-μ= 0,将前两式相减，得到(-1)(x-y)=0。若=1，则有μ=0，==-，显然不满足约束条件。2若元￥1，则x=y，再联立约束条件z=x2+y2与x+y+z=1，可解出x==(-1±3)，z=2x2=2V3，从而有d2=95/3。由于满足约束条件的点集是连通紧集，目标函数连续，所以必有最大值和最小值。于是得到dmax=V9+5/3,dmin=/9-5/3。5.求椭圆x2+3y2=12的内接等腰三角形，其底边平行于椭圆的长轴，而使面积最大。解设(x,),x≥0为三角形底边上的顶点，则三角形面积为S=x(2-J)，令L(x, y,)= x(2-y)-2(x2 +3y2 -12),求偏导数，得到[L, =2-y-2ax,[L, =-x-62y消去元，可得6y-3y2+x2=0，再联立约束条件x2+3y2=12，可得满足x≥0的驻点只有(0,2)和(3,-1)。当(x,y)=(0,2)时S=0，当(x,y)=(3,-1)时S=9。由题意三角形面积一定存在最大值，于是得到Smax =9。6.求空间一点(a,b,c)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离。165
2 2 0 2 2 0 2 0 x y z L x x L y y L z λ µ λ µ λ µ ⎧ = − − = ⎪ ⎨ = − − = ⎪ ⎩ = + − = , , , 将前两式相减，得到( 1 λ − − )(x y) = 0。 若λ =1，则有µ = 0 ， 1 2 z = − ，显然不满足约束条件。 若λ ≠1，则 x = y ，再联立约束条件 z = x 2 + y 2 与 x + y + z = 1，可解 出 x = y 1 ( 1 3) 2 = − ± ， 2 z x = = 2 2 ∓ 3，从而有 2 d = 9 5 ∓ 3 。 由于满足约束条件的点集是连通紧集，目标函数连续，所以必有 最大值和最小值。于是得到 dmax = 9 + 5 3 ，dmin = 9 − 5 3 。 5. 求椭圆 的内接等腰三角形，其底边平行于椭圆的长轴， 而使面积最大。 3 12 2 2 x + y = 解 设 为三角形底边上的顶点，则三角形面积为 ， 令 ( , x y), x ≥ 0 S x = (2 − y) 2 2 L x( , y,λ λ ) = − x(2 y) − (x + 3y −12)， 求偏导数，得到 2 2 6 , x y L y x, L x y λ λ ⎧⎪ = − − ⎨ ⎪ = − − ⎩ 消去λ ，可得 ，再联立约束条件 ，可得满足 的驻点只有 和(3 。 2 2 6 3 y y − + x = 0 3 12 2 2 x + y = x ≥ 0 (0, 2) ,−1) 当( , x y) = (0, 2)时S = 0，当( , x y) = (3,−1)时S = 9。由题意三角形面积 一定存在最大值，于是得到 Smax = 9。 6. 求空间一点(a,b, c)到平面 Ax + By + Cz + D = 0的距离。 165