第十二章多元函数的微分学习题12.1偏导数与全微分1.求下列函数的偏导数：(1) z= x5-6x*y2 +y%;(2) z=x2In(x2 +y2);(3) 2= y+(4) z= sin(xy)+cos (xy) ;J(6) z= tan(5)z=e*(cosy+xsiny);(7) ≥=sin cos±;(8) z=(1+xy)";yxx+y（10)z=arctan(9) z=In(x+lny);1-xyl(11) u=er(r+y+);(12)u=x=1(14) u=x";(13）u=x2 +y2 +2?Zaxy,a≥4x，a,为常数；(16) u=(15)u=a=a,为常数。i.j=l02Oz=5x*-24x3y2,解 (1)=6y5-12xy。axay2x3O -2x2yOz(2)= 2xln(x? +y2)+axx2+y2ayx2 +y2Oz"+azx(3)= x-JaxayyOz%= x[cos(x)-sin(2x)] 。(4)y[cos(xy) - sin(2xy)] ,axayOz= = e*(xcos y -sin y)。(5)= e*(cosy+xsin y+sin y),oxay(μ)x2(μ)=2xOz(6)secsecoxy()ayy2y1OzOzxxyyXsinxysinsin之(7)sin-COS-CoscoscosTaxayyxxxyyyxxy1
第十二章 多元函数的微分学 习 题 12. 1 偏导数与全微分 1． 求下列函数的偏导数： （1） z = x 5 − 6x 4 y 2 + y 6 ； （2） z = x 2 ln(x 2 + y 2 )； （3） y x z = xy + ； （4） z = sin(xy) + cos 2 (xy) ； （5） z = ex (cos y + xsin y)； （6） ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = y x z 2 tan ； （7） x y y x z = sin ⋅ cos ； （8） ； y z = (1+ xy) （9） z = ln(x + ln y)； （10） xy x y z − + = 1 arctan ； （11） ( ) ； （12） 2 2 2 ex x y z u + + = z y u = x ; （13） 2 2 2 1 x y z u + + = ； （14） ； z y u = x （15） ， 为常数； （16） 为常数。 1 n i i i u a = = ∑ x ai ij ji n i j ij i j u = ∑a x y a = a = , , 1 解 (1) 4 3 2 5x 24x y x z = − ∂ ∂ ， y x y y z 5 4 = 6 −12 ∂ ∂ 。 (2) 2 2 3 2 2 2 2 ln( ) x y x x x y x z + = + + ∂ ∂ ， 2 2 2 2 x y x y y z + = ∂ ∂ 。 (3) y y x z 1 = + ∂ ∂ ， 2 y x x y z = − ∂ ∂ 。 (4) y[ ] cos(xy) sin(2xy) x z = − ∂ ∂ ， x[ ] cos(xy) sin(2xy) y z = − ∂ ∂ 。 (5) e (cos y x sin y sin y) x z x = + + ∂ ∂ ， e (x cos y sin y) y z x = − ∂ ∂ 。 (6) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∂ ∂ y x y x x z 2 2 sec 2 ， ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − ∂ ∂ y x y x y z 2 2 2 2 sec 。 (7) x y y x x y z cos cos 1 = ∂ ∂ x y y x x y sin sin 2 + ， x y y x y x y z cos cos 2 = − ∂ ∂ x y y x x sin sin 1 − 。 1
OzOzxy(8)= y2(1+ xy)= (1 + xy)In(1+ xy) +axay1+xyaz1Oz1(9)axayx+lnyy(x+Iny)Oz1Oz1(10)注意≥=arctanx+arctany,1+x2'axay1+ y2auou(3x? + y2 + 2) ex(r*+y2+)= 2xy e(2+y2+3)(11)axayou2xz ex(*+y*+2) 。=az1A2auInxauouylnx业(12)x=,Ozax2ayZ2ouxouyou7(13)OxdyOz(x2 + y2 + 2x2(x? + y2 + 2?+ououou=y'x=yixJ"-I(14)InxInxlnyaxOzayou(15)=a, i=1,2,.,noax;u-Zayau=Zax,(16)i=12,...,n,j = 1,2,...,n oax,ayji=1j=l2. 设f(x,y)=x+y-/x2 +y2，求f,(3,4)及f,(3,4)。xy解所以因为f,=1,J, =1-Vx?+y2Vr?+y?21f (3,4) =J,(3,4) =15SloOz2验证2x3.设z=e=0。+y.axay2e由于Oz证所以a"e2J3ayOzaz2x=0。+yaxay2
(8) 2 1 (1 ) − = + ∂ ∂ y y xy x z ， ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + = + + + ∂ ∂ xy xy xy xy y z y 1 (1 ) ln(1 ) 。 (9) x x y z ln 1 + = ∂ ∂ ， ( ln ) 1 y y x y z + = ∂ ∂ 。 (10) 注意 z x = + arctan arctan y， 2 1 1 x x z + = ∂ ∂ ， 2 1 1 y y z + = ∂ ∂ 。 (11) (3 ) 2 2 2 x y z x u = + + ∂ ∂ ( ) 2 2 2 x x y z e + + ， = ∂ ∂ y u 2xy ( ) 2 2 2 x x y z e + + ， = ∂ ∂ z u 2xz ( ) 2 2 2 x x y z e + + 。 (12) −1 = ∂ ∂ z y x z y x u ， = ∂ ∂ y u z y x z ln x ， = ∂ ∂ z u z y x z y x 2 ln − 。 (13) ( )2 3 2 2 2 x y z x x u + + = − ∂ ∂ ， = ∂ ∂ y u ( )2 3 2 2 2 x y z y + + − ， = ∂ ∂ z u ( )2 3 2 2 2 x y z z + + − 。 (14) −1 = ∂ ∂ z z y y x x u ， = ∂ ∂ y u zy x x z z y ln −1 ， = ∂ ∂ z u y x x y z z y ln ln 。 (15) a i n x u i i = , = 1,2,", ∂ ∂ 。 (16) a y i n x u n j ij j i , 1,2, , 1 = = " ∂ ∂ ∑ = ， a x j n y u n i ij i j , 1,2, , 1 = = " ∂ ∂ ∑ = 。 2. 设 2 2 f (x, y) = x + y − x + y ，求 f x (3,4)及 f y (3,4)。 解 因为 2 2 2 2 1 , 1 x y x y f f x y x = − = − + + y ，所以 5 2 f x (3,4) = ， 5 1 f y (3,4) = 。 3. 设 2 e y x z = ，验证2 = 0 ∂ ∂ + ∂ ∂ y z y x z x 。 证 由于 2 2 2 3 1 e , e x x y y z z x y y y ∂ ∂ = = − ∂ ∂ 2x ，所以 2 = 0 ∂ ∂ + ∂ ∂ y z y x z x 。 2
x? + y?4．曲线，在点(2.4.5)处的切线与x轴的正向所夹的角度是4=4V多少？解以x为参数，曲线在点(2,4,5)处的切向量为(会,,)=(1,0,1) ;dx'dxdx设它与x轴的正向所夹的角度为e，则(1,0,1) (1,0,0) =1COSO=92V2所以=。45.求下列函数在指定点的全微分：(1）f(x,y)=3x2y-xy2，在点(1,2);(2)F(x,J)=ln(1+x2+y2)，在点(2,4);(3）(x,)=i，在点(0.1)和(2)。4J2解（1）因为df(x,J)=(6xy-y2)dx+(3x2-2xy)dy，所以df(1,2)= 8dx - dy 。2x2ydy，所以(2)因为df(x,J)=dx-i+x?+y?V1+x+y?4dx+8df(2,4) =dy21212sinxcos.xdy，所以(3）因为df(x,J)=y3y2V2V2dr(,2) :dxdf(0,1)= dx,dy8486.求下列函数的全微分：(2) z= xye;(1) z=y*;(3) z=x+yy(4) z=x-yVx?+y(5) u= /x2 +y2 +2 ;(6) u= ln(x2 +y? +22)。解(1) dz = y*In ydx + xyr-ldy(2) dz = e(1+ xy)(ydx + xdy) 3
4. 曲线 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = 4 , 4 2 2 y x y z 在点 处的切线与 轴的正向所夹的角度是 多少？ (2,4,5) x 解 以 x 为参数，曲线在点(2,4,5)处的切向量为 2 ( , , ) (1,0,1 x dx dy dz dx dx dx = = )， 设它与 x轴的正向所夹的角度为θ ，则 (1,0,1) 1 cos (1,0,0) 2 2 θ = ⋅ = ， 所以 4 π θ = 。 5. 求下列函数在指定点的全微分： （1） f (x, y) = 3x 2 y − xy 2，在点(1,2)； （2） f (x, y) = ln(1+ x 2 + y 2 )，在点(2,4)； （3） 2 sin ( , ) y x f x y = ，在点(0,1) 和 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ,2 4 π 。 解 (1) 因为df ( , x y) = − (6xy y 2 2 )dx + (3x − 2xy)dy ，所以 df (1,2) = 8dx − dy 。 (2) 因为 2 2 2 2 2 2 ( , ) 1 1 x y df x y dx dy x y x y = + + + + + ，所以 df dx dy 21 8 21 4 (2,4) = + 。 (3) 因为 2 3 cos 2sin ( , ) x x df x y dx dy y y = − ，所以 df (0,1) = dx , df dx dy 8 2 8 2 ,2) 4 ( = − π 。 6. 求下列函数的全微分： （1） z = y x ； （2） z = xy exy； （3） x y x y z − + = ； （4） 2 2 x y y z + = ； （5） 2 2 2 u = x + y + z ； （6）u = ln(x 2 + y 2 + z 2 )。 解 (1) dz = y x ln ydx + xy x−1 dy 。 (2) dz = e xy (1+ xy)( ydx + xdy) 。 3
2x2y(3) dzb(x-y)(x-y)x2xydx (4) dz :dy(x2 +y2)2(x2 +y2)2xdx + ydy + zdz(5) du=Vr?+y? +2?2(xdx + ydy + zd)(6) du= 3x? + y? +2?7.求函数z=xe2在点P(1,0)处的沿从点P(1,0)到点Q(2,-1)方向的方向导数。PO(2, -1)-(1,0)1解由于=-(1,-1)=(,)，且[PQ]1(2, -1)-(1,0)/2==e2y, C=2xe2,axay所以.OzOz_Oz1av+V2=V2y中8.设z=x2-xy+y2，求它在点(11)处的沿方向v=(cosα,sinα)的方向导数，并指出：（1）沿哪个方向的方向导数最大？（2）沿哪个方向的方向导数最小？（3）沿哪个方向的方向导数为零？解由于Oz0zOzsinα=(2x-y)cosα+(2y-x)sinα,cosα+av"axay所以Oz元元元-α)+sinα=2sincos(=cosα+sina=sin(-α)ovla,1)2X4(1)当α=时，沿v=(cos≤,sin≤)，方向导数最大。4A44
(3) dy x y x dx x y y dz 2 2 ( ) 2 ( ) 2 − + − = − 。 (4) dx x y xy dz 2 3 2 2 ( + ) = − dy x y x 2 3 2 2 2 ( + ) + 。 (5) 2 2 2 x y z xdx ydy zdz du + + + + = 。 (6) 2 2 2 2( ) x y z xdx ydy zdz du + + + + = 。 7. 求函数 在点 处的沿从点 到点 方向的方 向导数。 y z x 2 = e P(1,0) P(1,0) Q(2,−1) 解 由于 1 2 (2, 1) (1,0) 1 (1, 1) ( , ) | | | (2, 1) (1,0) | 2 PQ v v PQ − − = = = − = − − JJJG v ，且 2 2 e , 2 e z z y y x x y ∂ ∂ = = ∂ ∂ ， 所以 1 2 1 2 z z z v v x y ∂ ∂ ∂ = + = − ∂ ∂ v ∂ 。 8. 设 z = x 2 − xy + y 2，求它在点(1,1)处的沿方向v = (cosα,sinα)的方向 导数，并指出： （1）沿哪个方向的方向导数最大？ （2）沿哪个方向的方向导数最小？ （3）沿哪个方向的方向导数为零？ 解 由于 cos sin (2 ) cos (2 )sin z z z x y y x x y α α α ∂ ∂ ∂ = + = − + − ∂ ∂ v ∂ α ， 所以 (1,1) cos sin z α α ∂ = + ∂v sin( ) sin 2sin cos( ) 2 4 4 π π π = −α + α α = − , (1) 当 4 π α = 时，沿 ) 4 ,sin π π 4 v =(cos ，方向导数最大。 4
5元5时，沿v=(cos5元），(2) 当α =，方向导数最小。sin4443元，7元时，沿v=（cos3元3元方向(3）当α=,sin或V=(cos-4444.4导数为零。9.如果可微函数f(x,y)在点(1,2)处的从点(1,2)到点(2,2)方向的方向导数为2，从点(1,2)到点(1,1)方向的方向导数为-2。求（1）这个函数在点(1,2)处的梯度；（2）点(1,2)处的从点(1.2)到点（4.6)方向的方向导数。%.1+%.0=%=2。解=(2,2)-(1,2)=(1,0),aw"axtayax-%.0+%(-1)=-02=-2。v, = (1,1) -(1,2) = (0, -1) ,Ov"axaydy所以在(1,2)处，0===2。axay(1) grad f(1,2)=(2,2) 。(3,4)(3,4) ,所以(2) 因为(4,6)-(1,2)=(3,4)，5V32 + 4=2.2+2.4-14af5Ov l(1,5510.求下列函数的梯度：x(1) z= x? + y2 sin(xy);(2) z=1-（3）u=x2+2y2+3z2+3xy+4yz+6x-2y-5z，在点(1,1,1)。解 (1) grad ≥=(2x+ y3 cos(xy), 2 ysin(xy)+ xy2 cos(xy))。(2) grad==(-,-)。a262(3) grad u=(2x+3y+6,4y+3x+4z-2,6z+4y-5), grad u(1,1,1)=(11,9,5)。11.对于函数f(x,y)=xy，在第I象限（包括边界）的每一点，指出函数值增加最快的方向。5
(2) 当 5 4 π α = 时，沿 ) 4 5 ,sin 5π π 4 v =(cos ，方向导数最小。 (3) 当 3 7 , 4 4 π π α = 时，沿 ) 4 3 ,sin 3π π 4 v =(cos 或 ) 4 7 ,sin 7π π 4 v =(cos ，方向 导数为零。 9． 如果可微函数 在点 处的从点 到点 方向的方向 导数为 2，从点 到点 方向的方向导数为-2。求 f (x, y) (1,2) (1,2) (2,2) (1,2) (1,1) （1）这个函数在点(1,2)处的梯度； （2）点(1,2)处的从点(1,2)到点(4,6)方向的方向导数。 解 v =1 (2, 2) − = (1, 2) (1,0)， 1 1 0 z z z z x y x 2 ∂ ∂ ∂ ∂ = ⋅ + ⋅ = = ∂ ∂ v ∂ ∂ 。 2 v = (1,1) − = (1, 2) (0,−1) ， 2 0 ( 1) z z z z x y y 2 ∂ ∂ ∂ ∂ = ⋅ + ⋅ − = − = − ∂ ∂ v ∂ ∂ 。 所以在(1,2)处， 2 z z x y ∂ ∂ = = ∂ ∂ 。 (1) grad f (1,2) = (2,2)。 (2) 因为(4,6) − = (1, 2) (3, 4) ， 2 2 (3, 4) (3, 4) 3 4 5 = = + v ，所以 (1,2) 3 4 1 2 2 5 5 ∂f 4 5 = ⋅ + ⋅ = ∂v 。 10. 求下列函数的梯度： （1） z = x 2 + y 2 sin(xy)； （2） ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − + 2 2 2 2 1 b y a x z ； （3）u = x 2 + 2y 2 + 3z 2 + 3xy + 4yz + 6x − 2y − 5z ，在点(1,1,1)。 解 (1) grad z = ( 2x + y 3 cos(xy), 2y sin(xy) + xy 2 cos(xy)) 。 (2) ) 2 , 2 grad ( 2 2 b y a x z = − − 。 (3) grad ( u x = + 2 3y + 6, 4y + 3 4 x + z − 2,6 4 z + y − 5)，grad u(1,1,1) = (11,9,5)。 11. 对于函数 ，在第Ι象限（包括边界）的每一点，指出 函数值增加最快的方向。 f (x, y) = xy 5