习题2.3无穷大量1.按定义证明下述数列为无穷大量：2(1)>1) ;2n-(3) (n-arc tann);(4)Vn+2V2nVntln?+1证（1）VG>0，取N=[3G]，当n>N时，成立>G22n+1（2）VG>0，取N=[a°]，当n>N时，成立loga=log.n>G。n（3）vG>0，取N=[G+"]，当n>N时，成立n-arctann>G。（4）VG>0，取N=[2G?]，当n>N时，成立1n>G。Vn+22n2nVn+l2.（1)设lima,=+o(或-)，按定义证明：a,+a,+..+anlim+0(或-00);n(2）设a,>0，lima,=0，利用（1）证明：1lim (aa,a,) =0。证（1）设lima,=+0，则G>0,3N,>0,Vn>N,:a,>3G。对固定的N,，a, +a, +..+an.G于是N>2N,Vn>Nn?a,+a,+..+an3G_G=G。aN,+I +aN,+2 +...+a,a+a2+...+an22n1na,+a,++a.同理可证当lima.==oo时，成立limn20
习 题 2.3 无穷大量 1. 按定义证明下述数列为无穷大量： (1) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + 2 1 1 2 n n ； (2) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n a 1 log (a > 1)； (3) { n − arc tan n }； (4) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + + + n + n 2n 1 2 1 1 1 " 。 证（1）∀G > 0，取 N = [3G]，当n > N 时，成立 G n n n > > + + 2 1 3 1 2 。 （2）∀G > 0，取 N = [aG ]，当n > N 时，成立 n G n a ⎟ = a > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ log 1 log 。 （3）∀G > 0，取 ] 2 [ π N = G + ，当n > N 时，成立 n − arctan n > G。 （4）∀G > 0，取 N = [2G2 ]，当n > N 时，成立 G n n n n n + + > > + + + 2 2 1 2 1 1 1 " 。 2. (1) 设lim n→∞ an = +∞ (或− ∞ )，按定义证明： lim n→∞ a a a n 1 2 + +"+ n = +∞ (或− ∞ ); (2) 设a ＞0， = 0 ，利用（1）证明： n lim n→∞ an lim n→∞ (a a an n 1 2 1 " ) = 0。 证（1）设 = +∞，则 →∞ n n lim a ∀G > 0,∃N1 > 0,∀n > N1 : an > 3G 。对固定的 N1， 2 , : ∃N > N1 ∀n > N 2 1 1 2 G n a a aN < + +"+ ，于是 ≥ + + + n a1 a2 " an n aN +1 + aN +2 +"+ an 1 1 G G G n a a aN > − = + + + − 2 2 1 2 " 1 3 。 同理可证当lim 时，成立 n→∞ an = −∞ lim n→∞ a a a n 1 2 + +"+ n = −∞ 。 20
_ Ina,+lna,+.+Ina,，由limlna,=-，可知(2)In(aja2..an)"n1-80，从而lim In(a,a2...an)"70lim (aaa,)=0。3.证明：(）设(x)是无穷大量，|≥8>0，则(x}是无穷大量；(2）设(x)是无穷大量，l=b≠0，则(×,)与(都是无穷大y.量。G证（1)因为（x)是无穷大量，所以G>0，N，Vn>N，成立xO于是Vn>N，成立x,,>G，所以(xy,也是无穷大量。(2)由=b0,可知，n>，成立2。因为(x.）22G2lblG是无穷大量，所以VG>O，EN"，Vn>N"，成立x,[>max[b]取N=max(N,N"，Vn>N，成立y,|>G与>>G，所以x,,}与x都是无穷大量。yn4.（1）利用Stolz定理，证明：12 + 32 +5*+..+(2n +1)24limn33n→0[1?+32+52+...+(2n+1)24(2)求极限lim nn3312 +32 + 52 +...+(2n+1)2(2n+ 1)?4解（1）limJim3n3+ n3 -(n-1)3n→a21
（2） n a a an 1 1 2 ln( " ) n a a an ln 1 + ln 2 + + ln = " ，由 = −∞ →∞ n n lim ln a ，可知 = −∞ →∞ n n n a a a 1 1 2 lim ln( " ) ，从而 lim n→∞ (a a an n 1 2 1 " ) n n = 0。 3. 证明： (1) 设{ x }是无穷大量，｜ y ｜≥ > δ 0，则{ xn yn }是无穷大量； (2) 设{ xn }是无穷大量，lim n→∞ yn = b≠0，则{ xn yn }与 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n n y x 都是无穷大 量。 证 （1）因为{ xn }是无穷大量，所以∀G > 0，∃N ，∀n > N ，成立 δ G xn > 。 于是∀n > N ，成立 xn yn > G ，所以{ xn yn }也是无穷大量。 （2）由lim ≠0，可知 ' n→∞ yn = b ∃N ，∀n > N'，成立 y b b n 2 2 ≤ ≤ 。因为{ } 是无穷大量，所以 ， xn ∀G > 0 ∃N"，∀n > N"，成立 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > b G b G xn ,2 2 max 。 取 N = max{ } N',N" ，∀n > N ，成立 xn yn > G 与 G y x n n > ，所以{ xn yn }与 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n n y x 都是无穷大量。 4. (1) 利用 Stolz 定理，证明： lim n→∞ 1 3 5 2 1 4 3 2 2 2 2 3 + + + + + = " ( ) n n ； (2) 求极限lim n→∞ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + + + + + 3 1 3 5 (2 1) 4 3 2 2 2 2 n n n " 。 解（1）lim n→∞ = + + + + + 3 2 2 2 2 1 3 5 (2 1) n " n lim n→∞ 3 4 ( 1) (2 1) 3 3 2 = − − + n n n 。 21
[1? +3? +52 + ...+(2n+1)?43[1? +32 +...+(2n+1)?1- 4n3(2) limn= lim3n33n?n-→007-3(2n +1)2 - 4n3 + 4(n -1)324n-1= lim lim:403n2 _ 3(n-1)26n-3n-00n+005.利用Stolz定理，证明：logan=0(a>1);(1) limnnk=0(2)(a>1，k是正整数)。limn- a"logann证(1) lim= lim loga=0。nn-1n-0n->0ntnk -(n-1)kPr-I(n)(2)lim lim=limanα"-α"-lan-l(a-1)n-→0其中P-(n)为关于n的k-1次多项式；重复上述过程k次即得到ntPk-1(n)P-2(n)Po(n)=lim= limlim= lim=0。n-a"a"-2(α-1)2n-o an-k (a-1)k-→ αn-l(α-1)n→?--=，能否得出lim=0的结（1）在Stolz定理中，若lim6.y,-yn-l→oyn2→0论？(2)在Stolz定理中，若lim二不存在，能否得出lim不存Y.-Yn-ly在的结论？解（1）不能。考虑例子x,=(-1)"n，,=n，lim二y,-yn-1= lim (-1)"(2n-1),但 lim=lim(-1)"极限不存在。)=80，1-→aynn->o(2）不能。考虑例子,=1-2+3-4·(-1)in,y,=n，lim_yn-yn-122
（2）lim n→∞ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + + + + + 3 1 3 5 (2 1) 4 3 2 2 2 2 n n n " →∞ = n lim 2 2 2 2 3 3 3[1 3 (2 1) ] 4 n + +"+ n + − n →∞ = n lim 2 2 2 3 3 3 3( 1) 3(2 1) 4 4( 1) − − + − + − n n n n n →∞ = n lim 4 6 3 24 1 = − − n n 。 5. 利用 Stolz 定理，证明： (1) lim n→∞ loga n n = 0 ( a > 1)； (2) lim n→∞ n a k n = 0 ( a > 1，k 是正整数)。 证 （1）lim n→∞ loga n n = lim n→∞ 0 1 log = n − n a 。 （2）lim n→∞ n a k n =lim n→∞ = − − − −1 ( 1) n n k k a a n n lim n→∞ ( 1) ( ) 1 1 − − − a a P n n k ， 其中Pk−1 (n)为关于n的k −1次多项式；重复上述过程k 次即得到 lim n→∞ n a k n =lim n→∞ = − − − ( 1) ( ) 1 1 a a P n n k lim n→∞ = − − − 2 2 2 ( 1) ( ) a a P n n k →∞ = n " lim 0 ( 1) ( ) 0 = − n−k k a a P n 。 6. (1) 在 Stolz 定理中，若lim n→∞ x x y y n n n n − − − − 1 1 = ∞，能否得出lim n→∞ x y n n = ∞的结 论? (2) 在 Stolz 定理中，若lim n→∞ x x y y n n n n − − − − 1 1 不存在，能否得出lim n→∞ x y n n 不存 在的结论? 解 （1）不能。考虑例子 x n , n n = −( )1 y n n = ，lim n→∞ x x y y n n n n − − − − 1 1 →∞ = n lim = ∞ − − 1 ( 1) (2n 1) n ， 但 lim n→∞ x y n n n n = lim(−1) →∞ 极限不存在。 （2）不能。考虑例子 x n n = −1 2 + 3 − 4+"+( ) −1 n−1 , yn = n 2 ，lim n→∞ x x y y n n n n − − − − 1 1 22
m=1""极限不存在，但1im=0。= lim2n-1oy07.设0<<1，lima,=a，证明lim(a,+Nan--+^"an-2+..-+2"a)--2k"a,+ka-+.+，利用Stolz证记k="，则a,+an--+..+"ao=k"定理，lim(a, +a-+a*+*"a )= lim "a, a-++aoknk"ana= limn-kn-(k-1)1-元-8.设A,=a，当n→时有极限。（p,)为单调递增的正数数列，且k=1P→+（n→0）。证明：lim Da++ Pa++P. =0 Pa1→0证设limA,=A，作代换ak=Ak-Ak-，得到_ A(p2 - p))+ A(p3 - p2)+.+ An-I(p, - Pn-1)Piai + paa2 +..+ Phan = A..PnPn对上式求极限，在求后一分式的极限时应用Stolz定理，Pia, + paa, +...+ Pnanlim naPn= im 4, lim 4(P2 -P)+ A(P, - .)++A-(P, - Pr-)oPnA,(P,-Pn-1) = A-A=0。=A- limPn-Pn-123
2 1 ( 1) lim 1 − − = − →∞ n n n n 极限不存在，但lim n→∞ x y n n = 0。 7. 设 0＜λ ＜1，lim ，证明 n→∞ an = a lim n→∞ ( a a a a ) n n n n + + λ λ − − 1 + +λ 2 2 0 " = − a 1 λ 。 证 记k = λ −1 ，则 n n n n n n n n k k a k a a a a a 1 0 1 1 0 + + + + + + = − − − " λ " λ ，利用 Stolz 定理， lim n→∞ ( a a a a ) n n n n + + λ λ − − 1 + +λ 2 2 0 " n n n n n n k k a k a a 1 0 1 lim + + + = − − →∞ " ( 1) lim 1 − = − →∞ k k k a n n n n − λ = 1 a 。 8. 设 ,当 时有极限。{ }为单调递增的正数数列，且 ( n ）。证明： A a n k k n = = ∑ 1 n → ∞ pn pn → +∞ → ∞ lim n→∞ p a p a p a p n n n 1 1 2 2 0 + + + = " 。 证 设 An A，作代换 n = →∞ lim ak = Ak − Ak−1，得到 = + + + n n n p p a p a " p a 1 1 2 2 n n n n n p A p p A p p A p p A ( ) ( ) ( ) 1 2 − 1 + 2 3 − 2 + + −1 − −1 − " ， 对上式求极限，在求后一分式的极限时应用 Stolz 定理， lim n→∞ n n n p p1a1 + p2a2 +"+ p a n n n n n n n p A p p A p p A p p A ( ) ( ) ( ) lim lim 1 2 1 2 3 2 −1 −1 →∞ →∞ − + − + + − = − " = A − lim n→∞ 1 1 ( ) − − − − n n n n n p p A p p = A − A = 0。 23
习题2.4收敛准则利用lim1=e求下列数列的极限：n(1) lim(2) lim 21(3) lim1+(4) lim2n(5 lim(-[++解（1）lim=[+(+)(2)11+-lim（+[+）-(3)1[+)下-1.(+)-m(4) lim/1→00n-o0（5）当n≥2时，有(+)(+-<(++)。e与lim=e，即得m(1+-)由lim=en+22.利用单调有界数列必定收敛的性质，证明下述数列收敛，并求出极限：(1) x,= ~2,xu+= /2 + x,,n= 1,2,3, ;24
习 题 2.4 收敛准则 1． 利用lim n→∞ e n n ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 1 求下列数列的极限： ⑴ lim n→∞ n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 1 1 ; ⑵ lim n→∞ n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + 1 1 1 ; ⑶ lim n→∞ n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 ; ⑷ lim n→∞ n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 ; (5) lim n→∞ n n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − 2 1 1 1 。 解（1）lim n→∞ n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 1 1 →∞ = n lim = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + −( −1) −1 1 1 1 1 1 1 n n n e 1 。 （2）lim n→∞ n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + 1 1 1 →∞ = n lim = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + +1 −1 1 1 1 1 1 1 n n n e。 （3）lim n→∞ n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 →∞ = n lim = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 2 2 1 1 n n e 。 （4）lim n→∞ n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 →∞ = n lim = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + n n n 1 2 2 1 1 1。 （5）当n ≥ 2时，有 n n n n n n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ < + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ≤ + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + 1 1 1 1 1 2 1 1 2 。 由lim n→∞ e n n ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + 2 1 1 与lim n→∞ e n n ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 1 ，即得lim n→∞ e n n n ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − 2 1 1 1 。 2. 利用单调有界数列必定收敛的性质，证明下述数列收敛，并求出 极限： (1) x1= 2 , xn+1= 2 + xn , n = 1 2, ,3,"； 24