概率论与数理统计习题答案（浙大第四版）第一章概率论的基本概念1.[一]写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一]1）Jo I..nx100lS=，n表小班人数In'nn（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一12）S-10,.,12,.....,n,....)（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。（[一](3)）S=(00,100,0100，0101,1010,0110,1100,0111,1011,1101,11101111,2.[二] 设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。（1）A发生，B与C不发生。表示为：ABC或A－（AB+AC)或A—(BUC)（2）A，B都发生，而C不发生。表示为：ABC或AB-ABC或AB-C（3）A，B，C中至少有一个发生表示为：A+B+C（4）A，B，C都发生，表示为：ABC表示为：ABC或S一（A+B+C或AUBUC（5）A，B，C都不发生，（6）A，B，C中不多于一个发生，即A，B，C中至少有两个同时不发生
概率论与数理统计习题答案（浙大第四版） 第一章 概率论的基本概念 1.[一] 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1） = n n n n o S 1 100 , ，n 表小班人数 （3）生产产品直到得到 10 件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2） S={10，11，12，.，n，.} （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”， 如连续查出二个次品就停止检查，或检查 4 个产品就停止检查，记录检查的结果。 查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满 4 次才停止检查。 （[一] (3)） S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 设 A，B，C 为三事件，用 A，B，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与 C 不发生。 表示为： ABC 或 A－ (AB+AC)或 A－ (B∪C) （2）A，B 都发生，而 C 不发生。 表示为： ABC 或 AB－ABC 或 AB－C （3）A，B，C 中至少有一个发生 表示为：A+B+C （4）A，B，C 都发生， 表示为：ABC （5）A，B，C 都不发生， 表示为： ABC 或 S－ (A+B+C)或 A B C （6）A，B，C 中不多于一个发生，即 A，B，C 中至少有两个同时不发生
相当于AB,BC,AC中至少有一个发生。故表示为：AB+BC+AC。（7）A，B，C中不多于二个发生。相当于：A,B,C中至少有一个发生。故表示为：A+B+C或ABC（8）A，B，C中至少有二个发生。相当于：AB，BC，AC中至少有一个发生。故表示为：AB+BC+AC6.[三)设A，B是两事件且P(A)=0.6，P(B)=0.7.问(1)在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P（AB)取到最小值，最小值是多少？解：由P(A)=0.6，P(B)=0.7即知ABΦ，（否则AB=Φ依互斥事件加法定理，P(AUB)=P(A)+P(B)=0.6+0.7=1.3>1与P(AUB)≤1矛盾）,从而由加法定理得(*)P (AB)=P(A)+P(B)-P(AUB)(1）从0≤P(AB)≤P(A)知，当AB=A，即AnB时P(AB)取到最大值，最大值为P(AB)=P(A)=0.6,(2）从（*)式知，当AUB=S时，P(AB)取最小值，最小值为P(AB)=0.6+0.7—1=0.3 。7[四)设 A, B, C 是三事件，且P(A)=P(B)=P(C)=,P(AB)=P(BC)=0 ,41P(AC)=，求A，B，C至少有一个发生的概率。解：P(A，B，C至少有一个发生)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)一P(AB)一P(BC)-2-1+0=2P(AC)+ P(ABC)=48+0-88.[五]】在一标准英语字典中具有55个由二个不相同的字母新组成的单词，若从26个英语字母中任取两个字母予以排列，问能排成上述单词的概率是多少？记A表“能排成上述单词”从26个任选两个来排列，排法有A种。每种排法等可能。：
相当于 AB, BC, AC 中至少有一个发生。故 表示为： AB + BC + AC 。 （7）A，B，C 中不多于二个发生。 相当于： A, B,C 中至少有一个发生。故 表示为： A + B + C或ABC （8）A，B，C 中至少有二个发生。 相当于：AB，BC，AC 中至少有一个发生。故 表示为：AB+BC+AC 6.[三] 设 A，B 是两事件且 P (A)=0.6，P (B)=0.7. 问(1)在什么条件下 P (AB)取到最 大值，最大值是多少？（2）在什么条件下 P (AB)取到最小值，最小值是多少？ 解：由 P (A) = 0.6，P (B) = 0.7 即知 AB≠φ，（否则 AB = φ依互斥事件加法定理， P(A∪B)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.3>1 与 P (A∪B)≤1 矛盾）. 从而由加法定理得 P (AB)=P (A)+P (B)－P (A∪B) (*) （1）从 0≤P(AB)≤P(A)知，当 AB=A，即 A∩B 时 P(AB)取到最大值，最大值为 P(AB)=P(A)=0.6， （2）从(*)式知，当 A∪B=S 时，P(AB)取最小值，最小值为 P(AB)=0.6+0.7－1=0.3 。 7.[四] 设 A，B，C 是三事件，且 , ( ) ( ) 0 4 1 P(A) = P(B) = P(C) = P AB = P BC = ， 8 1 P(AC) = . 求 A，B，C 至少有一个发生的概率。 解：P (A，B，C 至少有一个发生)=P (A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C)－P(AB)－P(BC)－ P(AC)+ P(ABC)= 8 5 0 8 1 4 3 − + = 8.[五] 在一标准英语字典中具有 55 个由二个不相同的字母新组成的单词，若从 26 个英语字母中任取两个字母予以排列，问能排成上述单词的概率是多少？ 记 A 表“能排成上述单词” ∵ 从 26 个任选两个来排列，排法有 2 A26 种。每种排法等可能
字典中的二个不同字母组成的单词：55个P(A)= 55 = 11..A61309.在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2..·9）记A表“后四个数全不同”：后四个数的排法有104种，每种排法等可能。后四个数全不同的排法有A40:.=0.504P(A) =10410.[六]在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号码。（1）求最小的号码为5的概率。记“三人纪念章的最小号码为5”为事件A：10人中任选3人为一组：选法有种，且每种选法等可能。3又事件A相当于：有一人号码为5，其余2人号码大于5。这种组合的种数有1:.P(A) =12(9)（2）求最大的号码为5的概率。种，记“三人中最大的号码为5”为事件B，同上10人中任选3人，选法有每种选法等可能，又事件B相当于：有一人号码为5，其余2人号码小于5，选法有1×种
字典中的二个不同字母组成的单词：55 个 ∴ 130 55 11 ( ) 2 26 = = A P A 9. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面 4 个数中的每一个数都是等可能性地取自 0，1，2.9） 记 A 表“后四个数全不同” ∵ 后四个数的排法有 104 种，每种排法等可能。 后四个数全不同的排法有 4 A10 ∴ 0.504 10 ( ) 4 4 10 = = A P A 10.[六] 在房间里有 10 人。分别佩代着从 1 号到 10 号的纪念章，任意选 3 人记录 其纪念章的号码。 （1）求最小的号码为 5 的概率。 记“三人纪念章的最小号码为 5”为事件 A ∵ 10 人中任选 3 人为一组：选法有 3 10 种，且每种选法等可能。 又事件 A 相当于：有一人号码为 5，其余 2 人号码大于 5。这种组合的种数有 2 5 1 ∴ 12 1 3 10 2 5 1 ( ) = P A = （2）求最大的号码为 5 的概率。 记“三人中最大的号码为 5”为事件 B，同上 10 人中任选 3 人，选法有 3 10 种，且 每种选法等可能，又事件 B 相当于：有一人号码为 5，其余 2 人号码小于 5，选法有 2 4 1 种
:XP(B)=20(10)(3)11.[七】某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笔重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？记所求事件为A。在17桶中任取9桶的取法有C9种，且每种取法等可能。取得4白3黑2红的取法有C4×C×CP(A)=Ct×C×Ci= 252故2431Ci712.[八】在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。（1）求恰有90个次品的概率。记“恰有90个次品”为事件A(1500在1500个产品中任取200个，取法有种，每种取法等可能。：200200个产品有90个次品，取法有（4011)）和90110（400110090人110..P(A)=（(1500(200（2）至少有2个次品的概率。记：A表“至少有2个次品”Bo表“不含有次品”，B1表“只含有一个次品”，同上，200个产品不含次品，取法有1100（400）(1100）（1199）种种，200个产品含一个次品，取法有200:A=B。+B,且Bo，B互不相容
20 1 3 10 2 4 1 ( ) = P B = 11.[七] 某油漆公司发出 17 桶油漆，其中白漆 10 桶、黑漆 4 桶，红漆 3 桶。在搬运 中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货 4 桶白漆，3 桶黑漆和 2 桶红 漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？ 记所求事件为 A。 在 17 桶中任取 9 桶的取法有 9 C17 种，且每种取法等可能。 取得 4 白 3 黑 2 红的取法有 2 3 3 4 4 C10 C C 故 2431 252 ( ) 6 17 2 3 3 4 4 10 = = C C C C P A 12.[八] 在 1500 个产品中有 400 个次品，1100 个正品，任意取 200 个。 （1）求恰有 90 个次品的概率。 记“恰有 90 个次品”为事件 A ∵ 在 1500 个产品中任取 200 个，取法有 200 1500 种，每种取法等可能。 200 个产品恰有 90 个次品，取法有 110 1100 90 400 种 ∴ = 200 1500 110 1100 90 400 P(A) （2）至少有 2 个次品的概率。 记：A 表“至少有 2 个次品” B0 表“不含有次品”，B1 表“只含有一个次品”，同上，200 个产品不含次品，取法有 200 1100 种，200 个产品含一个次品，取法有 199 1100 1 400 种 ∵ A = B0 + B1 且 B0，B1 互不相容
(1100)400Y11002001人199..P(A)=1- P(A)=1-[P(B。)+ P(B,))=1(1500)(1500)200）［(200）13.[九】从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？记A表“4只全中至少有两支配成一对”则A表“4只人不配对”(10）种，每种取法等可能。从10只中任取4只，取法有：A要4只都不配对，可在5双中任取4双，再在4双中的每一双里任取一只。取法有C4·24_8P(A)= -.C%"2P(4)=1- P(A)=1-= 13212115.[十一］将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1,2,3，的概率各为多少？记A表“杯中球的最大个数为i个”i=1,2,3三只球放入四只杯中，放法有43种，每种放法等可能对A1：必须三球放入三杯中，每杯只放球。放法4×3×2种。（选排列：好比3个球在4个位置做排列）P(4)= 4x3x2_ 64316对A2：必须三球放入两杯，一杯装一球，一杯装两球。放法有C?×4×3种。（从3个球中选2个球，选法有C2，再将此两个球放入一个杯中，选法有4种，最后将剩余的1球放入其余的一个杯中，选法有3种
∴ + = − = − + = − 200 1500 199 1100 1 400 200 1500 200 1100 P(A) 1 P(A) 1 [P(B0 ) P(B1 )] 1 13.[九] 从 5 双不同鞋子中任取 4 只，4 只鞋子中至少有 2 只配成一双的概率是多 少？ 记 A 表“4 只全中至少有两支配成一对” 则 A 表“4 只人不配对” ∵ 从 10 只中任取 4 只，取法有 4 10 种，每种取法等可能。 要 4 只都不配对，可在 5 双中任取 4 双，再在 4 双中的每一双里任取一只。取法有 4 2 4 5 21 13 21 8 ( ) 1 ( ) 1 21 2 8 ( ) 4 10 4 4 5 = − = − = = = P A P A C C P A 15.[十一] 将三个球随机地放入 4 个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是 1，2， 3，的概率各为多少？ 记 Ai 表“杯中球的最大个数为 i 个” i=1,2,3, 三只球放入四只杯中，放法有 4 3 种，每种放法等可能 对 A1：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法 4×3×2 种。 (选排列：好比 3 个球在 4 个位置做排列) 16 6 4 4 3 2 ( ) 1 3 = P A = 对 A2：必须三球放入两杯，一杯装一球，一杯装两球。放法有 4 3 2 C3 种。 (从 3 个球中选 2 个球，选法有 2 C3 ，再将此两个球放入一个杯中，选法有 4 种，最后将剩余的 1 球放入其余的一个杯中，选法有 3 种