去有限个第一类间断点外，在其他的点上都连续.又因 Lp = T(Lp),所以 L,的参数方程为x = x(t) =x(u(t), v(t)(atfb).y = y(t) = y(u(t), v(t))若规定t从a 变到 b 时,对应于 L,的正向,则根据格林么式,取 P(x,y)= 0,Q(x, )=x,有bm(D)= , xdy = x(t)ydt)dtut)+vd)dt. (6)0 x(u(t), (0)lyelu后贡巡回前页
前页 后页 返回 去有限个第一类间断点外, 在其他的点上都连续. 又 因 所以 的参数方程为 若规定 从 变到 时, 对应于 的正向, 则根据格 林公式, 取 有
另一方面，在uv平面上uélyydyxVu9lu6élyULydt)dt,(7)=±o x(uTuuuv其中正号及负号分别由 t 从a 变到 b 时,是对应于 Lp的正方向或负方向所决定. 由(6)及(7)式得到Uey-dvm(D) =±Nx(uu岚回后页前页
前页 后页 返回 另一方面, 在 uv 平面上 其中正号及负号分别由 从 变到 时, 是对应于 的正方向或负方向所决定. 由(6)及(7)式得到
x(u, v)du + x(u, v)))dv三士lu1今 P(u, D)=x(u,D),Q(u, v)=x(u,在uv平u面上对上式应用格林公式，得到agP:0m(D)=±(+01.dudvv 0Ty由于函数 (u,V)具有二阶连续偏导数,即有ulv10. 1P"二,因此P= J(u, v),于是quvJvu岚回前页后页
前页 后页 返回 令 在uv平 面上对上式应用格林公式, 得到 由于函数 具有二阶连续偏导数, 即有 因此 于是
m(D) = ±/(u, v)dudv.D又因为 m(D)总是非负的, 而J(u,V)在D上不为零且连续，故其函数值在D上不变号，所以m(D) = J(u, v) [dudv.D定理21.13 设f(x,J)在有界闭区域D 上 可积,变换T: x=x(u,v), y=y(u,v) 将uv 平面由按段光滑封闭曲线所图成的闭区域D一对一地映成XV平面上的闭区域D,函数 x(u,V),J(u,V) 在 D 内分别具有巡回前页后页
前页 后页 返回 又因为 总是非负的, 而 在 上不为零且 连续, 故其函数值在 上不变号, 所以 定理21.13 设 在有界闭区域D 上可积, 变换 将uv 平面由按段光滑封 闭曲线所围成的闭区域 一对一地映成xy 平面上 的闭区域D, 函数 在 内分别具有
一阶连续偏导数且它们的函数行列式J(u,v) - 1() - 0, (u, v)i D,T(u, v)则有f(x, y)dxdy= f(x(u,v), y(u,v)/ J(u,v)Idudv.DD证用曲线网把D分成n个小区域D，在变换T作用下,区域D 也相应地被分成n 个小区域 D,.记 D,及D,的面积为m(D,)及 m(D,)(i=1,2,L ,n). 在对 y 的后贡巡回前页
前页 后页 返回 一阶连续偏导数且它们的函数行列式 证 用曲线网把 分成 n个小区域 , 在变换T作用 下, 区域D 也相应地被分成n 个小区域 . 记 及 的面积为 及 在对 y 的 则有