《线性代数》第二章 线性方程组 习题课

消元变形,化成同解方程组 高斯消元法 矩阵 矩阵的 初等变换 7>F;>C 数表 kr(kc) +ki +ke

高斯消元法 矩阵 矩阵的 初等变换 消元变形，化成同解方程组。 数表 ( ) i j i j r  r c  c ( ) kri kci ( ) j i i j r + k r c + k c

阶梯矩阵和最简形 满足下列两个条件的矩阵称为阶梯矩阵: (1)若有零行,则零行位于非零行的下方; (2)每个首非零元前面零的个数逐行增加 首非零元为1,且首非零元所在列的其它元都 为零的梯矩阵,称为最简阶梯矩阵,简称最 简形。 >任意m×n阶矩阵A总可以经过初等行变换 化为阶梯形矩阵及最简形 个矩阵的阶梯形一般不唯一,但它的最 简形是唯一的

阶梯矩阵和最简形 ❖ 满足下列两个条件的矩阵称为阶梯矩阵： (1) 若有零行，则零行位于非零行的下方； (2) 每个首非零元前面零的个数逐行增加。 ❖ 首非零元为1，且首非零元所在列的其它元都 为零的梯矩阵，称为最简阶梯矩阵，简称最 简形。 ➢ 任意m×n阶矩阵A总可以经过初等行变换 化为阶梯形矩阵及最简形 ➢ 一个矩阵的阶梯形一般不唯一，但它的最 简形是唯一的

判别最简形 0101 1101 A1=0011A2=0 0000 0000 1001 101 A3=0101A4=1001 0111 0000

判别最简形 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0000 A     =       2 1 1 0 1 0 1 1 1 0000 A     =       3 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 A     =       4 1 1 0 1 0 0 1 1 0000 A     =      

用初等行变换将矩阵化成 行阶梯矩阵和最简形 例1 1-2 4 A 4-62-24 36-979 2=73 h(>2 2-31-1 4229 n2-2 4063

例1. 用初等行变换将矩阵化成 行阶梯矩阵和最简形 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9 A   − −   − =     − −     − 1 2 3 2 1 1 2 1 4 2 1 1 1 2 2 3 1 1 2 3 6 9 7 9 r r r     −   − − ⎯⎯⎯→    − −     − A 2 3 3 1 4 1 2 3 1 1 2 1 4 0 2 2 2 0 0 5 5 3 6 0 3 3 4 3 r r r r r r − − −   −   − ⎯⎯⎯→    − − −     −

11-214 02-220 2÷2 r2+5r 0 0-55-3-6 -3200026 000 3 214 01-10 4-2 12 0001-3250001 433 00000 00000

1 1 2 1 4 0 2 2 2 0 0 5 5 3 6 0 3 3 4 3   −   −     − − −     − 2 3 2 4 2 2 5 3 1 1 2 1 4 0 1 1 1 0 0 0 0 2 6 0 0 0 1 3 r r r r r  + −   −   − ⎯⎯⎯→    −     − 3 4 4 3 2 1 1 2 1 4 0 1 1 1 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 r r r r  −   −   − ⎯⎯⎯→    −     1 2 2 3 1 0 1 0 4 0 1 1 0 3 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 r r r r − −   −   − ⎯⎯⎯→    −    