解一11xmn-xn|=10.9sin0.9…+09si"0.91≤ ≤0.9n++…+0.9丌+P<0.9n+…+0.9叶P 0.9n+1 10×0.9″ 0.9 lg 对VE>0,为使|xnp-xn|<E,易见只要n+110 g0.9 于是取N 1)”+2(-1) 2n+12n+3 2n+12n+3 2(n+p
解 ⑴ − = + + + + + + + | | | 0.9 sin 0.9 0.9 sin 0.9 | n 1 n 1 n p n p n p n x x + + + + 0.9 0.9 n 1 n p 0.9 n +1 ++ 0.9 n+ p + 1 1 10 0.9 1 0.9 0.9 + + = − = n n ; 对 0，为使 | − | n+ p n x x ，易见只要 lg 0.9 10 lg 1 n + . 于是取 N = . ⑵ 2( ) 1 ( 1) 2 3 ( 1) 2 1 ( 1) | | 2 3 1 + − − + + + − + + − − = + + + + + n n n p a a n n n p n p n 2( ) 1 ( 1) 2 3 1 2 1 1 1 + − − + + + − + = + n n n p p
当p为偶数时,注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个 括号均为正号,有 2n+12n+3 2(n+p) 2n+12n+3 2n+52n+7 2(n+p)-32(n+p)-1 又 2n+12n+3 2(n+p)-1 2n+1(2n+32n+5
当 p 为偶数时 , 注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个 括号均为正号 , 有 = + − + − + − + 2( ) 1 1 2 3 1 2 1 1 n n n p 0 2( ) 1 1 2( ) 3 1 2 7 1 2 5 1 2 3 1 2 1 1 + − − + − + + + − + + + − + = n p n p n n n n , 又 = + − + − + − + 2( ) 1 1 2 3 1 2 1 1 n n n p − + − + − + = 2 5 1 2 3 1 2 1 1 n n n
2(m+p)-52(n+p)-3)2(n+p)-1 2n+1 当p为奇数时, 2n+12n+3 2(n+p)-1 2n+12n+3 2(n+p)-52(n+p) ≥0 2(n+p)-1 2n+12n+3 2(n+p)
+ − − + − − + − − 2( ) 1 1 2( ) 3 1 2( ) 5 1 n p n p n p 2 1 1 + n . 当 p 为奇数时, = + − + − + − + 2( ) 1 1 2 3 1 2 1 1 n n n p 0 2( ) 1 1 2( ) 3 1 2( ) 5 1 2 3 1 2 1 1 + − + + − − + − + + + − + = n p n n n p n p = + − + − + − + 2( ) 1 1 2 3 1 2 1 1 n n n p
2n+1(2n+32n+5 2(n+p)-32(mn+p) n+ 综上,对任何自然数p,有 … (-1) 2n+12n+32(mn+p)-12n+1n Cauchy列的否定: 例1x,=∑·验证数列{xn}不是Cacy列 证对n,取p=n,有
2 1 1 2( ) 1 1 2( ) 3 1 2 5 1 2 3 1 2 1 1 + + − − + − − − + − + − + = n n n n n p n p . 综上 , 对任何自然数 p , 有 2 1 1 2( ) 1 ( 1) 2 3 1 2 1 1 0 1 + + − − + + + − + + n n n p n p n 1 . …… Cauchy 列的否定: 例1 = = n k n k x 1 1 . 验证数列{ }n x 不是 Cauchy 列. 证 对n , 取 p = n , 有