∑vn2∑v是两个正项级数,lmtn=1, n→00 (1)当0<1<∞时,两个级数同时收敛或发散 2)当1=0且∑vn收敛时,∑n也收敛; (3)当=且∑vn发散时∑n也发散 注 1)un,V均为无穷小时,的值反映了它们不同阶的比较 2)特别取V=,对正项级数∑4n,可得如下结论 p≤1,0<l≤∞ ∑vn发散 m n n→00 P>1,0≤1<0c∑ln收敛
是两个正项级数, (1) 当 0 l 时, 两个级数同时收敛或发散 ; 2) 特别取 , 1 n p n v = 对正项级数 un , 可得如下结论 : p 1, 0 l u l n n = → lim p n 0 l un 发散 (2) 当 l = 0 且 vn 收敛时, (3) 当 l = 且 vn 发散时, 也收敛 ; 也发散 . un 收敛 注: 1) un , vn均为无穷小时, l 的值反映了它们不同阶的比较
常用于比较的几个级数: ()等比级数∑q",当q<时收敛,当≥时发散 (P级数∑一n,当≤时发散当p>1时收敛 =1n ● ∑ n=2m(n)1= k nInn(nIn以b
常用于比较的几个级数： ⑴ 等比级数 , 1 , 1 . 1 n q q q n = 当 时收敛 当 时发散 ⑵ 1 , 1 1 . 1 p p p n n = 当 时发散,当 时收敛 ⑶ 1 , , 2 (ln ) ln (lnln ) p p n n k n n n n n = = １ P级数
例3判别级数∑si的敛散性 n=1 sin 解:: lim n sin=1imn.1=1 n n n→>00 nn→>00n 根据比较审敛法的极限形式知∑sin发散 例4判别级数∑n[1+2]的敛散性1m(1+1)~ 解:;imn2hn[1+1=me、x n→>00 n→ 根据比较审敛法的极限形式知∑1+与]收敛
的敛散性. ～ n n n 1 = lim → 例3. 判别级数 =1 1 sin n n 的敛散性 . 解: n→ lim sin 1 n n 1 =1 根据比较审敛法的极限形式知 . 1 sin 1 发散 n= n 例4. 判别级数 = + 1 2 1 ln 1 n n 解: n→ lim 2 2 1 lim n n n = → =1 根据比较审敛法的极限形式知 . 1 ln 1 1 2 收敛 = + n n n n 1 sin ln(1 ) 2 1 n + ～ 2 1 n 2 n 2 1 ln 1 n +
例判别级数的敛散性∑(√n+1-ym+ H=1 n 解:∑ n+1 (n+1-√n)2ln,an>0 1= n (Vn+1-√n)=( n+1 2P n 2 2 n=ln(1+) n-1 a.~21p lim →0 ∑收敛 n
1 1 ( 1 ) ln . 1 p n n n n n = + + − − 例 判别级数的敛散性 解: , 0 1 1 ( 1 ) ln 1 − + + − = n p n a n n n n 1 1 1 ( 1 ) ( ) ~ ( ) . 1 2 p p p p n n n n n + − = + + 1 2 2 ln ln(1 ) ~ . 1 1 n n n n + = + − − 1 2 1 1 ~ 2 . p p n a n + − 1 2 lim 1 n p n a n → + = 1 2 . − p 收敛. an
定理( Cauchy积分判别法): 设x≥1,f(x)≥0且递减,则无穷级数∑∫(m) 与无穷积分f(x)dk同敛散 证明因为(k)≤R1f(x)dxsf(k-1), n Sn-f()=∑f(k)≤∑-1f(x)lx k=2 k=2 f(r)xs f(k-1=sn-1 若f(x)d收敛,则Sn-f(1)<+,故∑f(n)收敛 ●● 若∫(x)d发散,→+∞,则Sn1→+∞,故∑f(m)发散 =1
定理 (Cauchy积分判别法): 设x f x 1, ( ) 0 , 且递减 ( )d . 1 f x x + 与无穷积分 同敛散 证明 ( ) ( )d ( 1), 1 k f k f x x f k k - 因为 − (1) ( ) ( )d 1 2 2 n n k S f f k f x x n k k k − = − = = ( )d ( 1) 1 1 2 n n f x x f k S n k = − = − = ( )d , 1 f x x + 若 收敛 (1) , ( ) . 1 S f f n n n − + = 则 故 收敛 ( )d , , 1 f x x + 若 发散 → + , ( ) . 1 1 S f n n n → + − = 则 故 发散 ( ) 1 f n n = 则无穷级数 所以