例1.讨论p级数1+++…++… (常数p>0) 2P 3P P 的敛散性 解:1)若p≤1,因为对一切n∈N, 而调和级数∑发散,由比较审敛法可知p级数∑1 n- 12 发散
例1. 讨论 p 级数 + p + p ++ p + n 1 3 1 2 1 1 (常数 p > 0) 的敛散性. 解: 1) 若 p 1, 因为对一切 而调和级数 =1 1 n n 由比较审敛法可知 p 级数 n 1 发散 . 发散
2)若P>1因为当n-1sx≤n时 故 P yp dx p-IL(n 11 2P- 3P (n+1) 1n→∞ k(k+1) (n+1 故强级数收敛,由比较审敛法知p级数收敛
p 1, 因为当 , 1 1 p p n x 故 − = n n p p x n 1 n d 1 1 − n n p x 1 x d 1 − − − = −1 −1 1 ( 1) 1 1 1 p p p n n 考虑强级数 − − − − = 1 1 2 1 ( 1) 1 p p n n n 的部分和 n + − = − − = 1 1 1 ( 1) 1 1 p p n k k k n → 故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 . 时, 1 ( 1) 1 1 − + = − p n 1 2) 若 + + + − + − − −1 −1 −1 −1 −1 ( 1) 1 1 3 1 2 1 2 1 1 p p p p p n n
例2证明级数∑ n-lVn(n+1) 发散 证:因为 (n=1,2 n(n+1)√( h+n)2 n+1 而级数 发散 n+1 根据比较审敛法可知,所给级数发散
证明级数 发散 . 证: 因为 2 ( 1) 1 ( 1) 1 + n n + n 而级数 = = 2 1 k k 发散 根据比较审敛法可知, 所给级数发散 . 例2
定理3.(比较审敛法的极限形式)设两正项级数 ∑ln∑vn满足 lim un=l,则有 n→00 (1)当0<l<∞时,两个级数同时收敛或发散 (2)当1=0且∑vn收敛时,∑vn也收敛 7=1 (3)当1=0且∑vn发散时,∑n也发散 7=1 证:据极限定义,对8>0,存在N∈N,当n>N时 1<8(l≠∞)
定理3. (比较审敛法的极限形式) lim l, v u n n n = → 则有 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 证: 据极限定义, 设两正项级数 满足 (1) 当 0 < l <∞ 时
(-6)Vn≤ln≤(1+E)vn(n>N) 1)当0<1<时,取<,由定理2可知∑n与∑vn 同时收敛或同时发散; (2)当1=0时,利用n<(l+a)vn(n>N)由定理2知 若∑n收敛,则∑n也收敛 1= (3)当1=∞时,存在N∈N+,当n>N时,>1,即 n 由定理可知若∑v发散,则∑n也发散
n n n (l − )v u (l + )v 由定理 2 可知 n=1 n v 同时收敛或同时发散 ; (n N ) (3) 当l = ∞时, 即 n n u v 由定理2可知, 若 n=1 n v 发散 , (1) 当0 < l <∞时, (2) 当l = 0时, 由定理2 知 n=1 n 若 v 收敛