● 例讨论级数∑,n/敛散性 解:由于「1d当>时收敛,当≤时发散 则由 Cauchy积分判别法可知: 级数∑1当>时收敛,当≤1时发散 n=11 例讨论级数∑1的敛散性 n=2n(nn 解:考虑 ● 收敛,p>1 (nrp ar d(in x) nd 发散,p≤1 所以∑一在与上述同样的条件下收敛或发散 n=2
例. . 1 讨论 级数 1 的敛散性 n= p n p 解：由于 d 1 1 . 1 1 当 时收敛，当 时发散 + x p p x p 1 1 . 1 1 级数 当 时收敛，当 时发散 = p p n n p 则由Cauchy积分判别法可知： 例. . (ln ) 1 2 讨论级数 的敛散性 n= p n n 解：考虑 d(ln ) 2 (ln ) 1 2 d (ln ) 1 x p x x p x x = = , 1 , 1 p p 发散 收敛 . (ln ) 1 2 所以 在与上述同样的条件下收敛或发散 n= p n n
定理4.比值审敛法( d Alembert判别法) 设∑n为正项级数,且lm%=p,则 n→00 (1)当P<1时,级数收敛 (2)当P>1或=∞时级数发散 证:(1)当p<1时,取c使p+<1,由imm=p知 n->o 1 存在NeN,当m>N时,m1<p+E<1 1<(P+E)uln<(p+6) <(p+6) N N+1 ∑(P+)收敛,由比较审敛法可知∑1收敛
定理4 . 比值审敛法 ( d’Alembert 判别法) 设 为正项级数, 且 lim , 1 = + → n n n u u 则 (1) 当 1 (2) 当 1 证: (1) 当 1时, 1 1 + + n n u u 收敛 , 收敛. un 时, 级数收敛 ; 或 = 时, 级数发散 . N , 存在N + 当n N时, 由比较审敛法可知
(2)当p>1或p=∞时,必存在N∈N,l≠0,当m≥N 时>1,从而 n n+1>ln>ln-1>…>LN 因此imtn≥lx≠0,所以级数发散 n→>00 说明:当lmml=1时级数可能收敛也可能发散 n->0o u 例如,p-级数 lim =n+ lim (n+D2=1 n=1 12 n→00 P>1,级数收敛 p≤1,级数发散
1或 = 时, N , 0, 必存在N + uN lim 0 , → n N n 因此 u u 所以级数发散. 当n N 时 (2) 当 un+1 un un−1 uN lim 1 1 = + → n n n u u 说明: 当 时,级数可能收敛也可能发散. 例如, p – 级数 n n n u u 1 lim + → p p n n n 1 ( 1) 1 lim + → = =1 但 p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 . 从而
比值审敛法的上下极限形式:设hn>0n=12… ①若 lim sup"l=q<1 则yn收敛 ②若 lim inf"+1l=q>1,则un发散 证明:(1):1imSp"1=q<1-:取E>0 使得c q+E<1当n≥ n时,有n<q+E<1, ∑ln收敛 (2): lim inf-1=q1取E>0,使得q=6> 当n2时,有29->b,:∑n发散
比值审敛法的上下极限形式： lim sup 1, . 1 u n q u n u n n 若 则 收敛 → + = u n 0, 1,2, . n 设 = ① ② lim inf ' 1, . 1 u n q u n u n n 若 则 发散 → + = 证明： 1 sup 1, 0 1 lim u n q u n n + = → （ ） 取 ， 使得q+ 1 u . n收敛 2 inf ' 1, 0 ' 1 1 lim u n q q u n n + = − → （ ） 取 ，使得 ， 1 ' 1 0 u n n q n un 当 时，有 ， − + u . n发散 1 0 1 n n u n n q u + 当 时，有 ， +
例5讨论级数∑nx(x>0)的敛散性 n+1)x n 解 ∵lim X n→)00 n→>00 根据定理4可知:当0<x<1时级数收敛 当x>1时级数发散 当x=时级数∑n发散 例 讨论m的敛散性 2 解:因为 n+1 0<1 02n+ 所以级数收敛
lim → = n 例5. 讨论级数 的敛散性 . 解: n n n u u 1 lim + → n (n +1) x n−1 n x = x 根据定理4可知: 当0 x 1时, 级数收敛 ; 当x 1时, 级数发散 ; 当x =1时, 例. 2 . 22 1 (n!) n n = 讨论 的敛散性 2 1 1 0 1, lim lim 2 1 2 a (n ) n a n n n n + + = = → → + 因为 所以级数收敛. 解: