可以看到,在是方程的奇点的情形下,如果尸或者P不是整数, 或者8≠0,方程都有多值函数解。 显然,把解(),(2)或(3代入方程中去确定1,P28,Ck2dk时,会 发现所得到的是一组无穷多个未知数的联立方程。 但在一定条件下,会出现(1),(2)或(3)式中级数没有负幂项的情 形,这样的解称为正则解。 关于正则解,有如下定理: 定理2.方程"+pn+q=0在它的奇点0的邻域0<-<R 内有两个正则解的充要条件是 (2-)-和(2=50)9()在0<-<R中解析。(4) 即-最多是p()的一阶极点,同时最多是q)的二阶极点,即是 正则奇点
可以看到，在 是方程的奇点的情形下，如果 或者 不是整数， 或者 g ≠ 0，方程都有多值函数解。 显然，把解(1)，(2)或(3)代入方程中去确定 时，会 发现所得到的是一组无穷多个未知数的联立方程。 但在一定条件下，会出现(1)，(2)或(3)式中级数没有负幂项的情 形，这样的解称为正则解。 关于正则解，有如下定理： 定理 2. 方程 在它的奇点 的邻域 内有两个正则解的充要条件是： 和 在 中解析。 (4) 即 最多是 p(z)的一阶极点，同时最多是 q(z)的二阶极点，即是 正则奇点。 ρ1 ρ2 k k , , g,c ,d ρ1 ρ 2 0 z w''+ pw'+qw = 0 0 z 0 < z − z0 < R (z − z0 ) p(z) ( ) ( ) 0 < z − z0 < R 2 0 z − z q z 0 z
求正则解的步骤: 为方便起见,设正则奇点0=0 (对于一般的二点,只需把2→2-50) 以2乘方程"+pm+q=0 (5) 得:zy"+1(2)+91(2)m=0 其中:()=P(-2)9()=2() 由条件(4)可知:P1(2),q()在z=0点及其邻域内是解析的, 作泰勒展开: p()=∑=q()=∑b
求正则解的步骤： 为方便起见，设正则奇点 （对于一般的 点，只需把 0 z zz → − ） 以 2 z 乘方程 w pw qw '' ' 0 + += (5) 得： 2 1 1 z w zp z w q z w '' ( ) ' ( ) 0 + += (6) 其中： 1 p z zp z () () = 2 1 q z zqz () () = 由条件(4)可知： ， 在 z=0 点及其邻域内是解析的， 作泰勒展开： 1 0 ( ) s s s p z az ∞ = =∑ 1 0 ( ) s s s q z bz ∞ = = ∑ (7) z0 = 0 0 z ( ) 1 p z ( ) 1 q z
设方程(6)的正则解为 ()=2G2=∑C=(Cn≠ k=0 (8) 将(7)、(8代入(6)式中,得: +6+k-12-)4+∑a2C(+k)+∑b=∑C1=2=0 ∑ 消去因子”,得: ∑C(p+6+k-1x2-0)+∑a2∑C(P+k)2+∑b∑C=2=0 →Ck的递推关系: +2k+1(2+∑an(+1-m)Cm+∑ mk-m 0k=0.1,2 要使上式在:<R的区域内成立,左边z的各次幂的系数必须等于零
设方程(6)的正则解为： 0 0 ( ) k k k k k k wz z Cz Cz ρ ρ ∞ ∞ + = = = = ∑ ∑ 0 ( 0) C ≠ (8) 将(7)、(8)代入(6)式中，得： 0 0 0 0 00 ( )( 1)( ) ( ) 0 k s ks k k sk sk k s k sk C k k z z az C k z bz Cz ρ ρρ ρρ ρ ∞ ∞ ∞ ∞∞ + ++ = = = == ∑ ∑∑ ∑∑ + +− − + + + = 消去因子 z ρ ，得： 0 0 0 0 00 ( )( 1)( ) ( ) 0 k s k sk k sk sk k s k sk C k k z z az C k z bz Cz ρρ ρ ∞ ∞ ∞ ∞∞ = = = == ∑ ∑∑ ∑∑ + +− − + + + = (9) ⇒ Ck 的递推关系： 2 1 0 0 ( 2)( 1) ( 1 ) 0 k k k m k m m km m m k k C a k mC bC + +− − = = + + + +− + = ∑ ∑ k = 0,1,2... 要使上式在 z < R的区域内成立，左边 z 的各次幂的系数必须等于零
由z的最低次幂的系数为零得: p(p-)+anp+b]=0(ab已知) ≠0→以(0-1)+a0p+b。=0 (10) p的二次方程,指标方程 又由(9式中的z的系数为零得: C(p+np+n-1)+∑a(p+n-sCn+∑bCn,=0 利用递推关系,可以逐一把8试中的c(k>0)用c和C以及 已知的a和b,表示出来。 说明:由指标方程→P的两个根12。故用递推关系(1)般 可以得到两组系数c,dk。具体讨论参见郭敦仁《数学物理方法》
由 z 的最低次幂的系数为零得： 0 00 C ab [ ( 1) ] 0 ρρ ρ −+ + = ( 0 0 a b, 已知) 0 00 C ab ≠⇒ −+ + = 0 ( 1) 0 ρρ ρ (10) —— 的二次方程，指标方程 又由(9)式中的 的系数为零得： 0 0 ( )( 1) ( ) 0 n s ns s ns s s C n n a n s C bC ρρ ρ ∞ ∞ − − = = + +− + +− + = ∑ ∑ ( 1,2...) n = (11) 利用递推关系，可以逐一把(8)式中的 用 和 以及 已知的 和 表示出来。 说明：由指标方程 的两个根 。故用递推关系(11)一般 可以得到两组系数 。具体讨论参见郭敦仁《数学物理方法》。 0 c 1 c c (k > 0) k as bs ⇒ ρ 1 2 ρ , ρ k dk c , ρ n z
§6.2勒让德方程与勒让德多项式 要求:参阅梁昆淼第六章P106-16。 目的:(①)比较幂级数与傅立叶级数; (2)傅立叶级数的正交性、完备性 缔合勒让德方程: m2 (1-x2)y-2xy+[(+1) 1-2y=0 m=0时为勒让德方程: (1-x)y-2xy+l(1+1)y=0 方程(1)的来源:在球坐标系中用分离变量法解方程V+Mu=0 而得到
§6.2 勒让德方程与勒让德多项式 要求：参阅梁昆淼第六章 P106-116 。 目的： (1)比较幂级数与傅立叶级数； (2)傅立叶级数的正交性、完备性 缔合勒让德方程： 2 2 2 (1 ) '' 2 ' [ ( 1) ] 0 1 m x y xy l l y x − − + +− = − (1) m=0 时为勒让德方程： 2 (1 ) '' 2 ' ( 1) 0 − − ++ = x y xy l l y (2) 方程(1)的来源：在球坐标系中用分离变量法解方程 2 ∇+ = u uλ 0 而得到