∑ Ckklk-let-2 ∑Ck(k-1)2 k=0 令k=k+2k=0,1 ∑Ck(k-1)2=∑C2(k+2k+)2=∑C2(k+2)k+1)2 k=2 ∑[C2(k+2)k+)-2C+C k+2(h+ k=0 由于上式在ˉ的邻域内成立,即是z的一个恒等式,故z的同次 幂的系数为0,则 (+2)k+1)Ck2-(2k-1)C=0 2k-2 k+2 (+)k+1)—待定系数的递推关系
2 2 0 2 ( 1) ( 1) k k k k k k Ckk z Ckk z ∞ ∞ − − = = ∑ ∑ −= − 令k k = +' 2 k ' 0,1... = ∞ 2 ' '2 2 2 '0 0 ( 1) ( ' 2)( ' 1) ( 2)( 1) k kk kk k kk k Ckk z C k k z C k k z ∞∞ ∞ − + + == = ∑∑ ∑ − = + += ++ [ ] 2 0 ( 2)( 1) 2 0 k k kk k C k k kC C z λ ∞ + = ⇒ + +− + = ∑ 由于上式在 的邻域内成立，即是 z 的一个恒等式，故 z 的同次 幂的系数为 0，则 2 ( 2)( 1) (2 ) 0 k k k kC k C + + −− = + λ 2 2 ( 2)( 1) k k k C C k k λ + − ⇒ = + + ——待定系数的递推关系. 0 z
由上式可见,偶次幂与奇次幂项互不相干,可分别用C,C表示。 2(2k-2)-4 4k-4-22(2k-2-2)- 2k(2k-1) 2k(2k-1)2k(2k-1)(2k-2)(2k-1-2) k-2-2 (4k-4-)(4k-8-).(4-x)(-) (2k)! 同理: (4k-2-)4-6-1)(6-2-4) 2k+1 (2k+1) 1线性无关的解: (=∑(2w()=∑C2+2 k=0 k=0 n(=),w(2)都是方程的解,但线性无关。方程的通解是w(c)与 n(2)的线性组合
由上式可见，偶次幂与奇次幂项互不相干，可分别用 0 1 C C, 表示。 2 2 2 2 2 2 22 2(2 2) 4 4 4 4 2(2 2 2) 2 (2 1) 2 (2 1) 2 (2 1) (2 2)(2 1 2) k kk k k k kk C CC C kk kk kk k k λλλλ − − −− − − −− −− −− − = == − − − − −− 0 (4 4 )(4 8 )...(4 )( ) (2 )! k k C k −− −− − − λ λ λλ = 同理： 21 1 (4 2 )(4 6 )...(6 )(2 ) (2 1)! k k k C C k λ λ λλ + −− −− − − = + 1. 线性无关的解： 2 0 2 0 ( ) k k k wz Cz ∞ = = ∑ 2 1 1 21 0 ( ) k k k wz C z ∞ + + = = ∑ ， 都是方程的解，但线性无关。方程的通解是 与 的线性组合。 ( ) 0 w z ( ) 1 w z ( ) 0 w z ( ) 1 w z
补充:对于普遍形式的方程:W(2)+以()m()+()()=0 如何求其在常点z域的级数解v()∑CG(=-)? k=0 解:因p(z)和q(2)都在点解析,故有泰勒展开: p()=∑an(2-)(=∑b-=) 其中:am=m m (已知) 将p(2,q)表达式代入方程: ∑Ck(k-12-=-)2+∑ k=0 a(-:0CkK-=)-+∑b-)2>(2-=y=0 k=0 并项得:
补充：对于普遍形式的方程： w z pzw z qzwz ''( ) ( ) '( ) ( ) ( ) 0 + += 如何求其在常点 邻域的级数解 0 0 () ( ) k k k wz C z z ∞ = = − ∑ ？ 解：因 p (z ) 和 q (z )都在 点解析，故有泰勒展开： 0 0 () ( ) m m m pz a z z ∞ = = − ∑ 0 0 () ( ) m m m qz b z z ∞ = = − ∑ 其中： ( ) 0 ( ) ! m m p z a m = ( ) 0 ( ) ! m m q z b m = (已知) 将 p (z )，q (z )的表达式代入方程： 2 1 0 0 0 00 0 0 0 00 ( 1)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 k m k mk k mk mk k m k mk Ckk z z a z z Ck z z b z z C z z ∞ ∞ ∞ ∞∞ − − = = = == ∑ ∑∑ ∑∑ −− + − − + − − = 并项得： 0 z 0 z
∑{+2k+12+m+1-mm+∑Cm(=:y=0 →Ck的递推关系: (+2(k+1)Ck2 +2a +1-mC+m+∑ 这样,w(C(∈一)满足方程。 说明:由递推关系可从C2开始逐一把所有的系数都用C和C1表达出 来,当然其中的1(x(2)般并不分别只含z的偶次幂和奇次 幂
2 10 00 0 ( 2)( 1) ( 1 ) ( ) 0 k k k k m k m m km kmm k k C a k mC bC z z ∞ + +− − == = ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ + + + +− + − = ⎩ ⎭ ∑∑∑ 的递推关系： 2 1 0 0 ( 2)( 1) ( 1 ) 0 k k k m k m m km m m k k C a k mC bC + +− − = = + + + +− + = ∑ ∑ k = 0,1,2... 这样， 0 0 () ( ) k k k wz C z z ∞ = = − ∑ 满足方程 。 说明：由递推关系可从 开始逐一把所有的系数都用 和 表达出 来，当然其中的 和 一般并不分别只含 z 的偶次幂和奇次 幂 。 ⇒ Ck C2 C0 C1 ( ) 0 w z ( ) 1 w z
三、正则奇点邻域的级数解 补充:关于指数方程的来源。 定理1.如果0是方程"+pp+q=0的奇点,则在p()和q() 都解析的环状区域0<|-=小<R内,方程的两个线性无关解是 V(2)=(z-2 n2()=(2=0)2∑D(=0) 或n2(2)=gw()n(2-)+(=0)2D(z=) 其中:P,P28,Ck,dk(=0+±2…)是常数
三、正则奇点邻域的级数解 补充：关于指数方程的来源。 定理 1. 如果 是方程 w pw qw '' ' 0 + += 的奇点，则在 p (z ) 和 q (z) 都解析的环状区域 0 0 <− < zz R 内，方程的两个线性无关解是 1 10 0 () ( ) ( ) k k k wz z z C z z ρ ∞ =−∞ =− − ∑ (1) 2 20 0 () ( ) ( ) k k k wz z z Dz z ρ ∞ =−∞ =− − ∑ (2) 2 21 0 0 0 ( ) ( )ln( ) ( ) ( ) k k k w z gw z z z z z D z z ρ ∞ =−∞ = − +− − ∑ (3) 0 z 或 其中： 是常数 , , , , ( 0, 1, 2 ) ρ1 ρ 2 g c k d k k = ± ±