、勒让德方程的级数解 在x=0的邻域内求解勒让德方程 p(x) gr) 在x=0点解析 x=0是方程的常点,则方程的解具有以下形式 ∑ k=0 代入(2)试式: 1-x)2Ck(k-x2-2C(+1+∑Cx2=0 k=0 改变第一项的求和指标: ∑Ck(k-1.x2=∑Ck(-1x2=2C2(k+2)k+)x k=0
一、勒让德方程的级数解 在 x=0 的邻域内求解勒让德方程。 2 2 ( ) 1 x p x x = − − ∵ 2 ( 1) ( ) 1 l l q x x + = − 在 x=0 点解析 x=0 是方程的常点，则方程的解具有以下形式： 0 k k k y Cx ∞ = = ∑ (3) 代入(2)式： 2 21 0 00 (1 ) ( 1) 2 ( 1) 0 kk k k kk k kk x C k k x x C kx l l C x ∞ ∞∞ − − = == − − − ++ = ∑ ∑∑ (4) 改变第一项的求和指标： 2 2 2 020 ( 1) ( 1) ( 2)( 1) kk k kkk kkk Ckk x Ckk x C k k x ∞∞∞ − − + === ∑∑∑ − = − = ++ ∴
代入(4)式,有: ∑(+2)k+12-(k+-1(+)gx2=0 上式为恒等式:在x=0的邻域内成立,故有 (k+2(k+1Ck+2-{k(k+1)-(+1)C=0 得系数递推公式: k(k+1)-1(+)。(k-(k++) (k+2)k+1)(k+2)(k+1) C÷k-1-2)(k+l →偶次幂的系数可用C来表示,奇次幂的系数可用c1来表示 (2n-1-22n+/-1) 2n(2n-1)
代入(4)式，有： { } 2 0 ( 2)( 1) [ ( 1) ( 1)] 0 k k k k k k C kk ll C x ∞ + = ∑ + + − +− + = 上式为恒等式：在 x=0 的邻域内成立，故有 2 ( 2)( 1) [ ( 1) ( 1)] 0 k k k k C kk ll C + + − +− + = + 得系数递推公式： 2 ( 1) ( 1) ( )( 1) ( 2)( 1) ( 2)( 1) k kk kk ll k l k l C CC kk kk + + − + − ++ = = ++ ++ (5) 2 ( 2)( 1) ( 1) k k kl kl C C k k − −− +− ⇒ = − (6) 偶次幂的系数可用 来表示，奇次幂的系数可用 来表示， 即 2 22 (2 2)(2 1) 2 (2 1) n n nl nl C C n n − −− +− = − ⇒ 0 c 1 c
(2n-1-2)(2n+1-4).(-)2n+1-1)(2n-1-3).、(+1 (2m) (2n-1-1)2n-1-3).(1-1)(2n+1)2n+l-1).(+2) (2n+1 因此方程的通解可写成 y(x)=∑nx2+∑ Coy(x)+cy(x) 其中:()=C∑Cx(=c2cmxm(两个线性无关的特解) y(x),y1(x)的收敛半径 R=liml-k=lim +2)k+1) k→∞ k+2 (k-D(k+7+1) 即两级数在<1内收敛,在x>发散,在x=士1处发散
0 (2 2)(2 4)...( )(2 1)(2 3)...( 1) (2 )! nl nl l nl nl l C n −− +− − +− −− + = 2 1 1 (2 1)(2 3)...(1 )(2 )(2 1)...( 2) (2 1)! n nl nl l nl nl l C C n + −− −− − + +− + = + 因此方程的通解可写成： 2 21 2 2 1 0 0 11 0 0 () () () n n n n n n yx C x C x Cy x Cy x ∞ ∞ + + = = = + =+ ∑ ∑ 其中： 2 0 2 0 0 1 ( ) n n n yx Cx C ∞ = = ∑ 2 1 1 21 1 0 1 ( ) n n n yx C x C ∞ + + = = ∑ (两个线性无关的特解) 的收敛半径： 2 ( 2)( 1) lim lim 1 ( )( 1) k k k k C k k R →∞ →∞ C k lk l + + + == = − ++ 即两级数在 内收敛，在 发散，在 处发散。 ( ), ( ) 0 1 y x y x x < 1 x > 1 x = ± 1
对于x=c0s,当0<<z时,<1在收敛区域; 而对=1不可能大于1,因此y(x)y(在1 发散就不成为问题。关键:当6=0,0=z时,x=±1, 级数发散,这是个严重的问题!
对于 ，当 时， 在收敛区域； 而 不可能大于 1，因此 在 发散就不成为问题。关键：当 时， ， 级数发散，这是个严重的问题！ x = cos θ 0 < θ < π x < 1 x = cos θ ( ), ( ) 0 1 y x y x x > 1 θ = 0 1 ,θ = π x = ±