第六章不定积分 61不定积分的概念和运算法则 前面学习了极限、连续函数、实数的连续性,以及导数于微分,特别是重点学习了导 数、微分的概念。我们知道求导是一种运算,它的被运算对象是函数。在以前我们也学过 多的运算。例如,加、减、乘、除、乘方、开方、指数、对数等等。我们可以将求导运算与 这些已知的很熟悉的运算相类比。(用旧的概念和新的概念相类比,从已有的经验中来发现 新概念、新知识中的规律,这是一种数学方法。)我们看看这些旧的运算,我们很快会发现 它们都成对出现,而且每对都是互为逆运算。我们不禁会想到,求导运算是否有逆运算,它 的逆运算是什么? 问题1:求导运算的逆运算是什么?讨论其逆运算的意义何在? 我们知道导数概念是一个非常重要的概念。它不仅仅是一种形式运算,在实际应用中 是很有用的。例如(1)已知物体的运动规律s=s(t),即路程函数,求物体的瞬时速度v(t) (2)已知曲线y=y(t),求它的切线的斜率。如果我们讨论的是反问题,已知物体运动的 瞬时速度,即速度函数v(t),求物体的运动规律,即路程函数;已知曲线在每一点的切线的 斜率,求此曲线。在解析几何中,对于直线的讨论,由于直线的点的斜率相同,所以用点斜 式很快就能得到。如果所讨论的是一般的,那么就是这里的问题了。我们把求导的逆运算称 为不定积分。 定义:函数∫(x)在区间I上有定义,如果存在函数F(x),使 F(x)=f(x)x∈I 称F(x)是函数f(x)(在区间上)的原函数。 例如: an2)=at(a是 const),所以a2是at的原函数 (snx)=cosx,所以snx是cosx的原函数 (2x2y=x2,所以2x2是x2的原函数
1 第六章 不定积分 6.1 不定积分的概念和运算法则 前面学习了极限、连续函数、实数的连续性，以及导数于微分，特别是重点学习了导 数、微分的概念。我们知道求导是一种运算，它的被运算对象是函数。在以前我们也学过很 多的运算。例如，加、减、乘、除、乘方、开方、指数、对数等等。我们可以将求导运算与 这些已知的很熟悉的运算相类比。（用旧的概念和新的概念相类比，从已有的经验中来发现 新概念、新知识中的规律，这是一种数学方法。）我们看看这些旧的运算，我们很快会发现 它们都成对出现，而且每对都是互为逆运算。我们不禁会想到，求导运算是否有逆运算，它 的逆运算是什么？ 问题 1：求导运算的逆运算是什么？讨论其逆运算的意义何在？ 我们知道导数概念是一个非常重要的概念。它不仅仅是一种形式运算，在实际应用中 是很有用的。例如（1）已知物体的运动规律 s = s(t) ，即路程函数，求物体的瞬时速度 v(t) ； （2）已知曲线 y = y(t) ，求它的切线的斜率。如果我们讨论的是反问题，已知物体运动的 瞬时速度，即速度函数 v(t) ，求物体的运动规律，即路程函数；已知曲线在每一点的切线的 斜率，求此曲线。在解析几何中，对于直线的讨论，由于直线的点的斜率相同，所以用点斜 式很快就能得到。如果所讨论的是一般的，那么就是这里的问题了。我们把求导的逆运算称 为不定积分。 定义：函数 f (x) 在区间 I 上有定义，如果存在函数 F(x) ，使 F (x) = f (x), x I ' 称 F(x) 是函数 f (x) （在区间 I 上）的原函数。 例如： at = at 2 ' ) 2 1 ( （ a 是 const），所以 2 2 1 at 是 at 的原函数。 (sin x) cos x ' = ，所以 sin x 是 cos x 的原函数。 2 1 2 1 (2 )' − x = x ，所以 2 1 2x 是 2 1 − x 的原函数
(x3+2)=x2,所以x3+2是x2的原函数。 问题2:函数f(x)的原函数是否存在,即什么样的函数有原函数。如果存在,其原函 数是否唯 对于问题前半截的回答,只能由下一章解答。而对后半截问题的回答则是容易的 显然由F(x)是f(x)的原函数,即F(x)=f(x),则 (F(x)+c)=f(x), (C const) 即F(x)+c也是∫(x)的原函数。由此我们看到,如果一个函数存在原函数,那么这个 函数就有无限多个原函数 问题3:函数f(x)的原函数的结构是什么样子。已知一个原函数为F(x),是否每一个 原函数都可表示为形式F(x)+c?换句话说,除了F(x)+c形式之外,是否还有其它形式 的函数,也是f(x)的原函数? 定理:如果F(x)是函数f(x)的原函数,则函数f(x)的无限多个原函数仅限于 F(x)+c(c是 const)的形式。 证明:已知F(x)是f(x)的原函数,即 F(x=f(x) (1) 设p(x)是函数f(x)的另一个原函数,即 (x)=f(x) (2) (1)与(2)相减,有 y(x)-F(x)=[(x)-F(x)=f(x)-f(x)=0 由第6.1节,例1,(x)-F(x)=c(c是某个常数)或(x)=F(x)+c,亦即函数f(x) 的任意一个原函数p(x)都是F(x)+c的形式 这就给出了函数∫(x)的原函数的构造问题。一个函数的无限多个原函数彼此仅相差 个常数。如果求出了一个原函数,其它所有的原函数也相应的被求出来了 另一方面,定理说明:已知一条原函数曲线,其它的原函数曲线可以用平移的方法得
2 3 2 2)' 3 1 ( x + = x ，所以 2 3 1 3 x + 是 2 x 的原函数。 问题 2：函数 f (x) 的原函数是否存在，即什么样的函数有原函数。如果存在，其原函 数是否唯一？ 对于问题前半截的回答，只能由下一章解答。而对后半截问题的回答则是容易的。 显然由 F(x) 是 f (x) 的原函数，即 ( ) ( ) ' F x = f x ，则 (F(x) + c)'= f (x) ， （ c 是 const） 即 F(x) + c 也是 f (x) 的原函数。由此我们看到，如果一个函数存在原函数，那么这个 函数就有无限多个原函数。 问题 3：函数 f (x) 的原函数的结构是什么样子。已知一个原函数为 F(x) ，是否每一个 原函数都可表示为形式 F(x) + c ？换句话说，除了 F(x) + c 形式之外，是否还有其它形式 的函数，也是 f (x) 的原函数？ 定理：如果 F(x) 是函数 f (x) 的原函数，则函数 f (x) 的无限多个原函数仅限于 F(x) + c （ c 是 const）的形式。 证明：已知 F(x) 是 f (x) 的原函数，即 ( ) ( ) ' F x = f x （1） 设 (x) 是函数 f (x) 的另一个原函数，即 '(x) = f (x) （2） （1） 与（2）相减，有 '(x) − F'(x) = [(x) − F(x)]'= f (x) − f (x) = 0 由第 6.1 节，例 1，(x) − F(x) = c （c 是某个常数）或 (x) = F(x) + c ，亦即函数 f (x) 的任意一个原函数 (x) 都是 F(x) + c 的形式。 这就给出了函数 f (x) 的原函数的构造问题。一个函数的无限多个原函数彼此仅相差一 个常数。如果求出了一个原函数，其它所有的原函数也相应的被求出来了。 另一方面，定理说明：已知一条原函数曲线，其它的原函数曲线可以用平移的方法得
定义:函数f(x)的所有的原函数F(x)+c(c是 const),称为函数f(x)的不定积分 表为 JA(x)dr=F(x)+c (F(x)=f(x)) 其中f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,c称为积分常数 值得注意的是,一个函数的不定积分既不是一个数,也不是一个函数,而是一个函数 族。例如: 有atd sin x)=cos x, cos xdt=sinx+c x=x xdx=-x+c 我们把求已知函数的原函数的运算称为积分运算,积分运算是微分运算的逆运算 对于一个运算有它的运算法则,有它的公式表,例如乘法运算的法则及其乘法表 不定积分的性质及运算法则 1.((x)y=f(x)或可(x)tx=/f(xh 亦即不定积分的导数(或微分)等于被积函数(或被积表达式)。 证明:设F(x)是函数f(x)的原函数,即F(x)=f(x),则 f(xdx =(F(x)+c)=f(x) 2.「F(x)x=F(x)+c或dF(x)=F(x)+c 亦即函数F(x)的导数(或微分)的不定积分等于函数族F(x)+c。 证明:已知F(x)是函数F(x)的原函数,则 F(xdx= F(x)+ 例如: dsn x= sin x+c d(3x2+x)=3x2+x+c
3 到。 定义：函数 f (x) 的所有的原函数 F(x) + c （ c 是 const），称为函数 f (x) 的不定积分。 表为 f (x)dx = F(x) + c （ F'(x) = f (x) ） 其中 f (x) 称为被积函数， f (x)dx 称为被积表达式， c 称为积分常数。 值得注意的是，一个函数的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是一个函数 族。例如： at = at 2 ' ) 2 1 ( ， 有 atdt = at + c 2 2 1 (sin x) cos x ' = ， cos xdt = sin x + c 3 2 )' 3 1 ( x = x ， x dx = x + c 2 3 3 1 我们把求已知函数的原函数的运算称为积分运算，积分运算是微分运算的逆运算。 对于一个运算有它的运算法则，有它的公式表，例如乘法运算的法则及其乘法表。 一、不定积分的性质及运算法则： 1． ( f (x)dx)'= f (x) 或 d f (x)dx = f (x)dx 亦即不定积分的导数（或微分）等于被积函数（或被积表达式）。 证明：设 F(x) 是函数 f (x) 的原函数，即 ( ) ( ) ' F x = f x ，则 ( f (x)dx)'= (F(x) + c)'= f (x) 2． F'(x)dx = F(x) + c 或 dF(x) = F(x) + c 亦即函数 F(x) 的导数（或微分）的不定积分等于函数族 F(x) + c 。 证明：已知 F(x) 是函数 F'(x) 的原函数，则 F'(x)dx = F(x) + c 。 例如： ( sin xdx)'= sin x x + x dx = x + x 2 2 ( (3 ) )' 3 d sin x = sin x + c d x + x = x + x + c 2 2 (3 ) 3
3:(齐次性)j可(x)k=可f(x)d,a是常数,且a≠0 即被积函数的常数因子可以移到积分号的外边。 证明 (可Jf(x)y=(j可(x)ty=(x) ∫可f(x)k=q!「f(x)h 4.(可加性)f(x)±g(x)x=f(x±g(x)dtx。 即两个函数代数和的不定积分等于两个函数不定积分的代数和 证明: f(x)士Jg(xy=(f(x)+」sx)hy =f(x)±g(x) ∫U(x)±g(x)x=(x)士g(x)d。 此法则可推广到n个(有限)函数,即n个函数的代数和的不定积分等于n个函数不 定积分的代数和 3.4.表明积分运算是线性运算,亦即 ∫(x)+g(x)=q∫f(x)d+小g(x)b。 当然,上式也可推出3.4。 类似于从乘法表得到除法表,我们可以从导数公式表得到不定积分的公式表 ∫at=ax+c,a是常数4=x+c x“++c,其中a是常数,a≠-1 a+1 l 4.「axn-1 a2+c,其中a>0,且a≠1 In a 特别∫e'r=e'+c 6.cos xdx=sinx+c
4 3．（齐次性） af (x)dx = a f (x)dx ，a 是常数，且 a 0。 即被积函数的常数因子可以移到积分号的外边。 证明： (a f (x)dx)'= ( af (x)dx)'= af (x) ， 即 af (x)dx = a f (x)dx 。 4．（可加性） [ f (x) g(x)]dx = f (x)dx g(x)dx 。 即两个函数代数和的不定积分等于两个函数不定积分的代数和。 证明： ( ( ) ( ) )' ( ( ) )' ( ( ) )' f x dx g x dx = f x dx g x dx ＝ f (x) g(x) 即 [ f (x) g(x)]dx = f (x)dx g(x)dx 。 此法则可推广到 n 个（有限）函数，即 n 个函数的代数和的不定积分等于 n 个函数不 定积分的代数和。 3．4．表明积分运算是线性运算，亦即 [af (x) + bg(x)]dx = a f (x)dx + b g(x)dx 。 当然，上式也可推出 3．4。 类似于从乘法表得到除法表，我们可以从导数公式表得到不定积分的公式表： 1． adx = ax + c , a是常数，dx = x + c 2． , 1 1 1 1 + − + = + x dx x c 其中 是常数， 3． x c x dx = + ln 4． , 0, 1 ln 1 = + a c a a a a dx x x 其中 且 特别 e dx e c x x = + 5． sin xdx =－cos x + c 6． cos xdx = sin x + c
cos dx m、=-ctgx+c arcsin x+C=-arccos x+c arctex + c 11.shxdx=chx+c 12.chxdx=shx+c 公式3的补充说明: (1)x> 0时x=1.所以 =nx+c 2)0时(-)=1.所以=b-x)+c 于是,对x>0或x<0,都有 乘法表对于乘法运算相当重要,所以不定积分表对于不定积分同样是相当重要的。 例1:求(4x32-2x2+5x+3x 「(4x32-2x2+5x+3)d 4xdx-2x2dx+5xdx+3dx 4xdx-2x2dx+5 xdx+3 dx 4 235 x3+-x2+3x+c 值得注意的是,等式右端的每个不定积分都有一个任意常数,有限个任意常数的代数和 还是一个任意常数,所以上式只写一个任意常数。 例2:求∫(1-2x)√b (1-2x)√xdx
5 7． tgx c x dx = + 2 cos 8． ctgx c x dx = − + 2 sin 9． x c x c x dx = + = − + − arcsin arccos 1 2 10． arctgx c x dx = + + 2 1 11． shxdx = chx + c 12． chxdx = shx + c 公式 3 的补充说明： （1） ( ) x c x dx x x x = = + , ln 1 0时，ln ' 所以 。 （2） ( ) − = = −x + c x dx x x x , ln( ) 1 0时，ln( ) ' 所以 。 于是，对 x 0 或 x 0 ，都有 x c x dx = + ln 。 乘法表对于乘法运算相当重要，所以不定积分表对于不定积分同样是相当重要的。 例 1：求 (4x − 2x + 5x + 3)dx 3 2 。 解： (4x − 2x + 5x + 3)dx 3 2 ＝ 4x dx − 2x dx + 5xdx + 3dx 3 2 ＝ 4 x dx − 2 x dx + 5 xdx + 3 dx 3 2 ＝ x c x x x − + + 3 + 5 5 3 2 4 4 4 3 2 ＝ x − x + x + 3x + c 2 5 3 4 2 3 2 值得注意的是，等式右端的每个不定积分都有一个任意常数，有限个任意常数的代数和 还是一个任意常数，所以上式只写一个任意常数。 例 2：求 x xdx 2 (1 2 ) − 。 解： x xdx 2 (1 2 ) −