六、方差与标准差 定义x的方差:Dx=E(x-EX 定义X的标准差:ox=√DX 若X为离散型随机变量,则有(x)=∑(x-EX)n i=1 若X为连续型随机变量,则有D(x)=。(x-Exy(x) 方差的计算公式:DX=E(x2)[E(x 有关方差的定理:定理1D(aX+b)=a2DX 推论:Db=0;D(X+b)=DX;D(aX)=a2DX
6 定义 定义 X 的标准差： X 的方差： 若X 为离散型随机变量，则有 若X 为连续型随机变量，则有 方差的计算公式: 定理1 推论： 有关方差的定理： 六、方差与标准差
定理2:若X与Y独立,D(X+)=DX+DY 推论:D∑X=∑D(x) i=1 七、某些常用分布的数学期望及方差 0-1分布:EX=D,DX=P二项分布:EX=p,DX=npq Poisson分布EX=4,DX=几何分布:EX DY-9 P 均匀分布:EX 2,DY(b-a)2 a+b 12 指数分布:EX DX
7 定理2： 若X与Y 独立， 推论： 七、某些常用分布的数学期望及方差 0 -1分布：EX p, DX pq 二项分布：EX np, DX npq EX , DX 几何分布: 2 p q , DX 1 p EX 12 ( ) 2 b a DX , 2 a b EX 均匀分布: , 1 EX 2 1 指数分布: DX Poisson分布
二维随机变量的方差: 离散型随机变量(X,) D(x)=∑x,-EN)n(x)=∑∑(x1-Ex)x,) D(y)=∑(;-EY)n2(v)=∑∑U-Ey)x,) 连续型随机变量(X,Y) DX=M(x-EX) x(x dx ∫∫。(x-EX)f(x,y)d Dy=(y-EY)fr(dy ∫。∫(-Ey)f(x,y)d
8 , . 2 i j i j j y EY p x y , , 2 i j i j i x EX p x y j i Y j y EY p y 2 DX X i i i x EX p x 2 DY 二维随机变量的方差： , , 2 x EX f x y dxdy , . 2 y EY f x y dxdy DY y EY f y dy Y 2 DX x EX f x dx X 2 连续型随机变量 离散型随机变量
八、原点矩与中心矩 定义1:随机变量x的k阶原点矩:v(x)=E(x) 其中k为正整数。特别的,v1=EX 对于离散随机变量:v(X)=∑xp(x) 对于连续随机变量:v4(X)=「x5f(x)dx 定义2:X的阶中心矩:A(x)=E{x-E(x)} 特别的,H1=0;p2=DX 对于离散随机变量:AA(X)=∑[x,-E(X)4p(x) 对于连续随机变量:4(X)=「x-E(X)]f(x)d
9 1 EX 定义1： 随机变量X 的 k 阶原点矩： 定义2： X 的k 阶中心矩： 0; 1 2 DX 对于离散随机变量： 对于连续随机变量： 对于离散随机变量： 对于连续随机变量： 其中k为正整数。特别的， 特别的， 八、原点矩与中心矩
九、协方差与相关系数 1、X与Y的协方差(或相关矩): 定义cov(X,Y)=E{X-E(X)Y-E(Y) 注()离散型随机变量: coy(x,)=∑∑(x;-EXMv-EY)n(x,y (2)连续型随机变量: cOIX ∫r。(x-ExXU-EP)(,)d 定理1cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) 定理2若X与Y独立,则:cov(X,Y)=0.逆命题不成立。 注设X与Y是任两个随机变量, D(X +Y=D(X)+D()+2cov(X,Y
10 cov X,Y x EX y EY f x, y dxdy. ⑴ 离散型随机变量： ⑵ 连续型随机变量： 1、X与Y 的协方差（或相关矩）： 定义 注 cov , , . i j i j i j X Y x EX y EY p x y 九、协方差与相关系数 定理1 定理2 若X与Y 独立，则： 注 设X与Y是任两个随机变量， 逆命题不成立