第一章解三角形 1.1.1正弦定理 、教学目标 l核心素养 通过学习正弦定理初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力 2学习目标 (1)通过特殊三角形,了解三角形的边与角的对应关系 (2)能证明正弦定理 (3)应用正弦定理解决三角形相应问题. 3学习重点 理解正弦定理会用正弦定理解两类三角形问题. 4学习难点 正弦定理的证明与三角形解的个数的判断 二、教学设计 (一)课前设计 1预习任务 任务1 阅读教材P1-P4 思考:正弦定理的内容是什么?你还有哪些方法可以证明正弦定理?正弦定理有哪 些应用? 任务2 默写正弦定理的具体内容,查阅三角形面积的计算公式并进行整理 2预习自测 1在一个三角形中各边和它对角的()的比相等 A.正弦 B余弦 C正切 D.角度 答案A
第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理 一、教学目标 1.核心素养 通过学习正弦定理,初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力. 2.学习目标 （1）通过特殊三角形,了解三角形的边与角的对应关系. （2）能证明正弦定理. （3）应用正弦定理解决三角形相应问题. 3.学习重点 理解正弦定理,会用正弦定理解两类三角形问题. 4.学习难点 正弦定理的证明与三角形解的个数的判断. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 任务 1 阅读教材 P1－P4. 思考:正弦定理的内容是什么?你还有哪些方法可以证明正弦定理?正弦定理有哪 些应用? 任务 2 默写正弦定理的具体内容,查阅三角形面积的计算公式并进行整理. 2.预习自测 1.在一个三角形中,各边和它对角的（ ）的比相等. A.正弦 B.余弦 C.正切 D.角度 答案:A
解析:考查正弦定理的定义:一个三角形中,各边和所对角的正弦之比相等,且该比 值等于该三角形外接圆的直径长度 2下列各式可以表示△ABC的面积的是() A.-absina B -absin B D. absinc 答案C 解析:考查三角形面积公式S=bmC=csB=b 3在正弦定理中一,的值表示△ABC的() sina A.内切圆半径 B内切圆直径 C.外接圆半径 D外接圆直径 答案D 解析:一个三角形中,各边和所对角的正弦之比相等,且该比值等于该三角形外接 圆的直径长度 (二)课堂设计 1知识回顾 (1)三角形内角和为180 (2)三角形中两边之和大于第三边两边之差小于第三边 (3)在三角形中大边对大角 (4)三角形的面积S=m=b=h(其中hhh2分别为边abc上的高) (5)我们预习本课的正弦定理是什么?有哪些方法可以证明呢? 2问题探究 问题探究一直角三角形的边角有哪些关系? 活动一回顾旧知,回忆边角关系
解析:考查正弦定理的定义: 一个三角形中,各边和所对角的正弦之比相等,且该比 值等于该三角形 外接圆的直径长度. 2.下列各式可以表示△ABC 的面积的是（ ） A. 1 2 absinA B. 1 2 absinB C. 1 2 absinC D.absinC 答案:C. 解析:考查三角形面积公式,S＝ 1 2 absinC＝ 1 2 acsinB＝ 1 2 bcsinA＝ abc 4R . 3.在正弦定理中 a sinA 的值表示△ABC 的（ ） A.内切圆半径 B.内切圆直径 C.外接圆半径 D.外接圆直径 答案:D. 解析:一个三角形中,各边和所对角的正弦之比相等,且该比值等于该三角形外接 圆的直径长度. （二）课堂设计 1.知识回顾 （1）三角形内角和为 180o . （2）三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边. （3）在三角形中大边对大角. （4）三角形的面积:S＝ 1 1 1 2 2 2 a b c ah bh ch = = （其中 ha,hb,hc 分别为边 a,b,c 上的高）. （5）我们预习本课的正弦定理是什么?有哪些方法可以证明呢? 2.问题探究 问题探究一 直角三角形的边角有哪些关系? ●活动一 回顾旧知,回忆边角关系
在初中我们已经学习过如何解直角三角形那么在直角三角形中的边角关系有哪 些呢? b 通过作出直角三角形,寻找直角三角形中的边角关系 在直角三角形中若C为直角,锐角A的正弦sn=对边=2同理smB= 斜边 活动二整合旧知探求边角新关系 结合三角函数你有哪些与众不同的发现? 在以上直角△ABC中根据正弦函数的定义有 b A=-. sin b==, sinC=l apc ≌mCsb sin B sin a sinb sin C 问题探究二上述边角关系对任意三角形都成立吗试证明.国点、难点知识* ·活动一大胆猜想,几何画板来帮忙 我们猜想在任意三角形中都有=-b=C B 为提高直观认识我们先利用几何画板先作出一个三角形度量出三个内角大小及 三边的长度, 分别计算 sin A sin b sin C 的值并观察三个值的关系 然后,再改变三角形形状再观察三个比值的变化情况 可以看到不论三角形如何变化,a=-b=c sin a sin B C ·活动二集思广益,证明正弦定理 你能在一般的三角形中证明 b 这个结论吗? B 在锐角△ABC中你能找出 asin. sina4表示的具体线段吗?它们的几何意义是什
在初中,我们已经学习过如何解直角三角形,那么在直角三角形中的边角关系有哪 些呢? 通过作出直角三角形,寻找直角三角形中的边角关系. 在直角三角形中,若 C 为直角,锐角 A 的正弦 sinA＝ = a c 对边 斜边 .同理,sinB＝ b c . ●活动二 整合旧知,探求边角新关系 结合三角函数,你有哪些与众不同的发现? 在以上直角△ABC 中,根据正弦函数的定义有: sin a A c = ,sin b B c = ,sin 1 C = ,即 sin a c A = , sin b c B = , sin c c C = . ∴ sin sin sin a b c A B C = = . 问题探究二 上述边角关系对任意三角形都成立吗?试证明. 重点、难点知识★▲ ●活动一 大胆猜想,几何画板来帮忙 我们猜想在任意三角形中,都有 sin a A ＝ sin b B ＝ sin c C . 为提高直观认识,我们先利用几何画板先作出一个三角形,度量出三个内角大小及 三边的长度, 分别计算 , , sin sin sin a b c A B C 的值,并观察三个值的关系. 然后,再改变三角形形状,再观察三个比值的变化情况. 可以看到,不论三角形如何变化, sin a A ＝ sin b B ＝ sin c C . ●活动二 集思广益,证明正弦定理 你能在一般的三角形中证明 sin a A ＝ sin b B ＝ sin c C 这个结论吗? 在锐角△ABC 中,你能找出 asinB,bsinA 表示的具体线段吗?它们的几何意义是什 么?
在锐角△ABC中, asin b, bsin a表示的线段都是AB边上的高CD 因而有asmB=bin4,则=b,同理我们可以得到a=b=c C 在钝角三角形中是否也能用类似方法证明呢? 不妨设∠B为钝角如图,CD=asn(18-B)= bsin a,因而有 asin B=bsnA,则 同理我们可以得到a=b=c sin C 正弦定理对于任意的一个三角形都有a=b= sin a sinb sin C 活动三反思过程发现面积新公式 结合 asin, sina的几何意义,你能不能得到三角形的面积公式的另外一种形式? 由以上探究活动, asin. sina的几何意义为AB边上的高CD,则由三角形面积 S=-ah =-bh =-ch 有S=ch= actin B,或S=ch= bcsin a,以此类推还有S= absinC 所以S=1 bsin c=1 B=1 bcsin a 活动四利用外接圆,重新认识正弦定理 结合△ABC的外接圆,试探究“的几何意义 sIn
A D B C 在锐角△ABC 中, a B b A sin , sin 表示的线段都是 AB 边上的高 CD. 因而,有 asinB＝bsinA,则 sin sin a b A B = ,同理,我们可以得到 sin a A ＝ sin b B ＝ sin c C . 在钝角三角形中是否也能用类似方法证明呢? D C A B 不妨设∠B 为钝角,如图, CD a B b A = − = sin 180 sin ( ) o ,因而,有 a B b A sin sin = ,则 sin a A ＝ sin b B , 同理,我们可以得到 sin a A ＝ sin b B ＝ sin c C . 正弦定理:对于任意的一个三角形,都有 sin a A ＝ sin b B ＝ sin c C . ●活动三 反思过程,发现面积新公式 结合 asinB,bsinA 的几何意义,你能不能得到三角形的面积公式的另外一种形式? 由以上探究活动,asinB,bsinA 的几何意义为 AB 边上的高 CD,则由三角形面积 1 1 1 2 2 2 a b c S ah bh ch = = = , 有 1 1 sin 2 2 c S ch ac B = = ,或 1 1 sin 2 2 c S ch bc A = = ,以此类推,还有 1 sin 2 S ab C = . 所以 1 1 1 sin sin sin 2 2 2 S ab C ac B bc A = = = . ●活动四 利用外接圆,重新认识正弦定理 结合△ABC 的外接圆,试探究 sin a A 的几何意义
设⊙O为△ABC的外接圆连接CO并延长交⊙O于点A,连接AB,则∠A=∠A 在△ABC中AC为直径则∠ABC为直角,=AC=2R,故_=2R,其中R为 in d 三角形外接圆的半径 通过转化与化归的思想将∠A转化为∠A',最关键的是将一般三角形中a与∠A 的关系转化为直角三角形中的a与∠A的关系,不难得到=2R,则 sin A sinb sinC=2R 以上过程也是证明正弦定理的另一种方法你还能想出哪些证明正弦定理的方 结合活动三得到的三角形的面积公式我们还可以哪些形式多样的面积公式? 我们可以得到S= absin c=2=2R2 sin a sin bsin c等形式 4R 问题探究三利用正弦定理能解决哪些三角形的问题?匝点、难点知识★Δ ·活动一初步运用,运用定理解三角形 一般地我们把三角形的三个角A,BC和它们的对边a,bc叫做三角形的元素, 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形 利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题? 例1在△ABC中,已知A=30°,B=45°a=2,解此三角形 【知识点正弦定理,解三角形:数学思想数形结合】 详解根据三角形内角和定理C=180°-(4+B)=105° 根据正弦定理b=asnB=2c=asm=+ 点拨正弦定理是对边对角的关系在已知一内角的条件下找出该角的对边,或知 道一边的情况下,寻求该边的对角,注意三角形内角和为180°这个条件的运用在
a A' O C A B 设⊙O 为△ABC 的外接圆,连接 CO 并延长交⊙O 于点 A′,连接 A′B,则∠A＝∠A′, 在△A′BC 中,A′C 为直径,则∠A′BC 为直角, 2 sin a A C R A = = ,故 2 sin a R A = ,其中 R 为 三角形外接圆的半径. 通过转化与化归的思想,将∠A 转化为∠A′,最关键的是将一般三角形中 a 与∠A 的 关 系转 化为 直 角三 角形 中 的 a 与∠ A′ 的关 系, 不 难得 到 sin a A ＝ 2R, 则 2 sin sin sin a b c R A B C = = = . 以上过程也是证明正弦定理的另一种方法,你还能想出哪些证明正弦定理的方 法? 结合活动三得到的三角形的面积公式,我们还可以哪些形式多样的面积公式? 我们可以得到 1 2 sin 2 sin sin sin 2 4 abc S ab C R A B C R = = = 等形式. 问题探究三 利用正弦定理能解决哪些三角形的问题? 重点、难点知识★▲ ●活动一 初步运用,运用定理解三角形 一般地,我们把三角形的三个角 A,B,C 和它们的对边 a,b,c 叫做三角形的元素, 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题? 例 1 在△ABC 中,已知 A＝30°,B＝45°,a＝2,解此三角形. 【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】 详解:根据三角形内角和定理,C＝180°－(A＋B)＝105°, 根据正弦定理,b＝ sin sin a B A ＝2 2 ,c＝ sin sin a C A ＝ 6 2 + . 点拨:正弦定理是对边对角的关系,在已知一内角的条件下,找出该角的对边,或知 道一边的情况下,寻求该边的对角,注意三角形内角和为 180°这个条件的运用.在