正、余弦定理在三角形中的应用 A组基础巩固 CosA b 4 1.在△ABC中,若 0sBa=3,则△ABC是( A.直角三角形 等腰三角形 C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形 b sinB cosa 解析:根据正弦定理 a sinA cosB 因此 sinBcosb= sinuosa,即sin2B sIn B=A或2升+2=x,由于=三,所以2+2=x成立,即叶=票 答案 2.△ABC中,AB=√,AC=1,∠B=30°,则△ABC的面积等于() B 解析 ∴sinC2…0°<∠(180°,∴∠C=60°或120°.(1)当∠C 60°时,∠A=90° ∴BC=2.此时S△ABC= (2)当∠C=120°时,∠A=30°, 此时S△m=a×3×1×sin30° 答案:D 3.在△ABC中,A=60°,AB=1,AC=2,则S△AC的值为() B C 解析:8=248,AC,sk 答案:B 4.在△ABC中,A=60°,AB=2,且△ABC的面积S△A=,则边BC的长为()
正、余弦定理在三角形中的应用 A 组 基础巩固 1．在△ABC 中，若cosA cosB ＝ b a ＝ 4 3 ，则△ABC 是( ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 解析：根据正弦定理b a ＝ sinB sinA ＝ cosA cosB ，因此 sinBcosB＝sinAcosA，即 sin2B＝sin2A，所 以 B＝A 或 2B＋2A＝π，由于b a ＝ 4 3 ，所以 2B＋2A＝π 成立，即 B＋A＝ π 2 . 答案：A 2．△ABC 中，AB＝ 3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC 的面积等于( ) A. 3 2 B. 3 4 C. 3 2 或 3 D. 3 2 或 3 4 解析： 1 sin30°＝ 3 sinC ，∴sinC＝ 3 2 .∵0°<∠C<180°，∴∠C＝60°或 120°.(1)当∠C ＝60°时，∠A＝90°， ∴BC＝2.此时 S△ABC＝ 3 2 . (2)当∠C＝120°时，∠A＝30°， 此时 S△ABC＝ 1 2 × 3×1×sin30°＝ 3 4 . 答案：D 3．在△ABC 中，A＝60°，AB＝1，AC＝2，则 S△ABC的值为( ) A. 1 2 B. 3 2 C. 3 D．2 3 解析：S△ABC＝ 1 2 AB·AC·sinA＝ 3 2 . 答案：B 4．在△ABC 中，A＝60°，AB＝2，且△ABC 的面积 S△ABC＝ 3 2 ，则边 BC 的长为( ) A. 3 B．3 C. 7 D．7
解析:∵S△AC=AB· Asina ∴AC=1 由余弦定理可得 BC=AB+AC-2AB· ACCOsT =4+1-2×2×1×cos60°=3 即BC= 答案:A 5.若△ABC的周长等于20,面积是103,B=60°,则边AC的长是() A.5B.6 解析:设△ABC中,A、B、C的对边分别为a、b、C,已知B=60°,由题意,得 costa 0°=x+c=B 2ac actin60°=10 B=a+c-ac a+b+c=20 解得b=7,∴边AC的长为7 答案:C 6.在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD2AB=V5BD,BC=2B,则sinC的值为( 16 6 6 解析:设AB=AD=V, 则BD=2AB=2,BC=2BD=4, 3 在△ABD中利用余弦定理得
解析：∵S△ABC＝ 1 2 AB·ACsinA＝ 3 2 ， ∴AC＝1， 由余弦定理可得 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·ACcosA ＝4＋1－2×2×1×cos60°＝3. 即 BC＝ 3. 答案：A 5．若△ABC 的周长等于 20，面积是 10 3，B＝60°，则边 AC 的长是( ) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：设△ABC 中，A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 B＝60°，由题意，得 cos60°＝ a 2＋c 2－b 2 2ac ， 1 2 acsin60°＝10 3， a＋b＋c＝20， 即 b 2＝a 2＋c 2－ac， ac＝40， a＋b＋c＝20. 解得 b＝7，∴边 AC 的长为 7. 答案：C 6．在△ABC 中，D 是边 AC 上的点，且 AB＝AD,2AB＝ 3BD，BC＝2BD，则 sinC 的值为( ) A. 3 3 B. 3 6 C. 6 3 D. 6 6 解析：设 AB＝AD＝ 3， 则 BD＝ 2 3 AB＝2，BC＝2BD＝4， 在△ABD 中利用余弦定理得
cosA= 3×3 sina BC AB 在△ABC中利用正弦定理得 sinA sinc .故选 D 答案 7.在△ABC中,已知a=5,b=3,角C的余弦值是方程5x2+7x-6=0的根,则第三边 的长为 解析:5x2+7x-6=0可化为(5x-3)(x+2)=0 ==,2=-2(舍去) ∴cosC= 根据余弦定理, C2=a2+b2-2 abcess=52+32-2×5×3×y=16 ∴c=4,即第三边长为4 答案:4 8.已知△ABC的三个内角A,B,C满足2B=A+C,且AB=1,BC=4,则BC边上的中线 AD的长为 解析:∵2B=A+C,∴A+B+C=3B=180°, ∴B=60°,∵BC=4,∴BD=2,∴在△ABD中 AD=yAB+BF-2AB·BDos60° 12+22-2×1× 答案:√3 9.在锐角三角形中,边a、b是方程x2-2V3x+2=0的两根,角A、B满足:2sin(A+ B-√3=0,求角C的度数,边c的长度及△ABC的面积 解:由23m(什+b-√=0,得sm(4= △ABC为锐角三角形 ∴A+B=120°,C=60°, 又∵a、b是方程x2-23x+2=0的两根
cosA＝ 3 2＋ 3 2－2 2 2× 3× 3 ＝ 1 3 ， ∴sinA＝ 1－ 1 3 2＝ 2 2 3 . 在△ABC 中利用正弦定理得 BC sinA ＝ AB sinC ， ∴sinC＝ ABsinA BC ＝ 3× 2 2 3 4 ＝ 6 6 ，故选 D. 答案：D 7．在△ABC 中，已知 a＝5，b＝3，角 C 的余弦值是方程 5x 2＋7x－6＝0 的根，则第三边 c 的长为________． 解析：5x 2＋7x－6＝0 可化为(5x－3)(x＋2)＝0. ∴x1＝ 3 5 ，x2＝－2(舍去)． ∴cosC＝ 3 5 . 根据余弦定理， c 2＝a 2＋b 2－2abcosC＝5 2＋3 2－2×5×3× 3 5 ＝16. ∴c＝4，即第三边长为 4. 答案：4 8．已知△ABC 的三个内角 A，B，C 满足 2B＝A＋C，且 AB＝1，BC＝4，则 BC 边上的中线 AD 的长为________． 解析：∵2B＝A＋C，∴A＋B＋C＝3B＝180°， ∴B＝60°，∵BC＝4，∴BD＝2，∴在△ABD 中， AD＝ AB 2＋BD 2－2AB·BDcos60° ＝ 1 2＋2 2－2×1×2cos60°＝ 3. 答案： 3 9．在锐角三角形中，边 a、b 是方程 x 2－2 3x＋2＝0 的两根，角 A、B 满足：2sin(A＋ B)－ 3＝0，求角 C 的度数，边 c 的长度及△ABC 的面积． 解：由 2sin(A＋B)－ 3＝0，得 sin(A＋B)＝ 3 2 ， ∵△ABC 为锐角三角形， ∴A＋B＝120°，C＝60°， 又∵a、b 是方程 x 2－2 3x＋2＝0 的两根
a+b=2 ab=2. ∴c=a2+b-2 abcess=(a+b)2-3ab=12-6=6, ..C- 2sinC=×2 10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,求证: ab cos b 证明:由余弦定理的推论得c0sb=+d2-b Cos小的 +c2-a2 2bc 代入等式右边,得 a+c-b b+c 右边 zabc 2a-2ba2-b2 b B B组能力提升 1.在平行四边形ABD中,对角线AC=65,BD=17,周长为18,则这个平行四边形 的面积为() A.16B. 解析 如右图,设AB=CD=a,AD=BC=b, b=18, +17=2a2+b2 b=9, a2+b2=41 解得 ∴Cos∠BAD= 52+42-17_3 2×5×45 ∴sin∠BAD==,从而Saa=4×5×=16
∴a＋b＝2 3，ab＝2. ∴c 2＝a 2＋b 2－2abcosC＝(a＋b) 2－3ab＝12－6＝6， ∴c＝ 6，S△ABC＝ 1 2 absinC＝ 1 2 ×2× 3 2 ＝ 3 2 . 10．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，求证： a b － b a ＝c cosB b － cosA a . 证明：由余弦定理的推论得 cosB＝ a 2＋c 2－b 2 2ac ， cosA＝ b 2＋c 2－a 2 2bc ，代入等式右边，得 右边＝c a 2＋c 2－b 2 2abc － b 2＋c 2－a 2 2abc ＝ 2a 2－2b 2 2ab ＝ a 2－b 2 ab ＝ a b － b a ＝左边， ∴ a b － b a ＝c cosB b － cosA a . B 组 能力提升 11．在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC＝ 65，BD＝ 17，周长为 18，则这个平行四边形 的面积为( ) A．16 B. 35 2 C．18 D．32 解析： 如右图，设 AB＝CD＝a，AD＝BC＝b， 则 2 a＋b ＝18， 65＋17＝2 a 2＋b 2 ， 即 a＋b＝9， a 2＋b 2＝41， 解得 a＝4， b＝5， 或 a＝5， b＝4， ∴cos∠BAD＝ 5 2＋4 2－17 2×5×4 ＝ 3 5 ， ∴sin∠BAD＝ 4 5 ，从而 S▱ABCD＝4×5× 4 5 ＝16
答案:A 12.若三角形ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足等式n+ b,则 解析:·a+bb+c a-6+c+ab-ab+cb-bc-abc=0 Bp (at b+c(a+c-b-ac=0 又∵a,b,C表示边长,∴a+b+c≠0, a2+c2-b2 由余弦定理的推论得c0sB=1 ∴B=60° 答案:60° 13.在△ABC中,内角,B,C的对边分别为a,b,c,且 sina= acos B (1)求角B的大小 (2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值 解:(1)由in/=50sB及正弦定理1=得siB=ost 所以tanB= 所以B= (2)由sinC=2in及sin=inc得c=2a 由b=3及余弦定理b=a+c2-2 accos B,得9=a2+c2-aC, 所以a=V3,c=2N 14.在△ABC中,求证:asin2B+bsin2A=2 absinC 证明:法一:左边=a2·2 sinbcosB+b·2 sinUosa 2b a+c-b b+c-d +b 2R zac 2he 2h(a2+2-b+b+c2-a) 2R =右边 所以原式得证
答案：A 12．若三角形 ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足等式 c 2 a＋b ＋ a 2 b＋c ＝b，则 B＝________. 解析：∵ c 2 a＋b ＋ a 2 b＋c ＝b， ∴a 3－b 3＋c 3＋a 2 b－ab 2＋c 2 b－b 2 c－abc＝0， 即(a＋b＋c)(a 2＋c 2－b 2－ac)＝0. 又∵a，b，c 表示边长，∴a＋b＋c≠0， ∴a 2＋c 2－b 2－ac＝0， 由余弦定理的推论得 cosB＝ 1 2 ， ∴B＝60°. 答案：60° 13．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 bsinA＝ 3acosB. (1)求角 B 的大小； (2)若 b＝3，sinC＝2sinA，求 a，c 的值． 解：(1)由 bsinA＝ 3acosB 及正弦定理 a sinA ＝ b sinB ，得 sinB＝ 3cosB， 所以 tanB＝ 3， 所以 B＝ π 3 . (2)由 sinC＝2sinA 及 a sinA ＝ c sinC ，得 c＝2a. 由 b＝3 及余弦定理 b 2＝a 2＋c 2－2accosB，得 9＝a 2＋c 2－ac， 所以 a＝ 3，c＝2 3. 14．在△ABC 中，求证：a 2 sin2B＋b 2 sin2A＝2absinC. 证明：法一：左边＝a 2·2sinBcosB＋b 2·2sinAcosA ＝a 2· 2b 2R · a 2＋c 2－b 2 2ac ＋b 2· 2a 2R · b 2＋c 2－a 2 2bc ＝ ab 2Rc ·(a 2＋c 2－b 2＋b 2＋c 2－a 2 ) ＝ ab 2Rc ·2c 2＝2ab· c 2R ＝2absinC ＝右边． 所以原式得证．