正弦定理、余弦定理(1) 教学目的: (1)使学生掌握正弦定理 (2)能应用解斜三角形,解决实际问题。 教学重点:正弦定理 教学难点:正弦定理的正确理解和熟练运用 授课类型:新授课 课时安排:1课时 教具:多媒体、实物投影仪 教学过程 引言:在直角三角形中,由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数,可以由已知 的边和角求出未知的边和角那么斜三角形怎么办? 提出课题:正弦定理、余弦定理 二、讲解新课: 正弦定理:在任一个三角形中,各边和它所对角的正弦比相等, 2R(R为△ABC外接圆半径) sin a sinb sin c 1.直角三角形中:simA=a,sin=b,sinc=1 sin a sin a sin b sin c 2.斜三角形中 证明一:(等积法)在任意斜△ABC当中 b 两边同除以abc即得: sin a sin b sin C a 证明二:(外接圆法) 如图所示,∠A=∠D B CD=2R sin a sin d D 同理 sin B 证明三:(向量法) 过A作单位向量j垂直于AC 由AC+CB=AB 用心爱心专心
用心 爱心 专心 1 正弦定理、余弦定理（1） 教学目的： ⑴使学生掌握正弦定理 ⑵能应用解斜三角形，解决实际问题 奎屯 王新敞 新疆 教学重点：正弦定理 教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用 授课类型：新授课 课时安排：1 课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、引言：在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知 的边和角求出未知的边和角 奎屯 王新敞 新疆 那么斜三角形怎么办？ ——提出课题：正弦定理、余弦定理 二、讲解新课： 正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等， 即 A a sin = B b sin = C c sin =2R（R 为△ABC 外接圆半径） 1．直角三角形中：sinA= c a ，sinB= c b ， sinC=1 即 c= A a sin ， c= B b sin ， c= C c sin ． ∴ A a sin = B b sin = C c sin 2．斜三角形中 证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中 S△ABC= ab C ac B bc sin A 2 1 sin 2 1 sin 2 1 = = 两边同除以 abc 2 1 即得： A a sin = B b sin = C c sin 证明二：（外接圆法） 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴ CD R D a A a 2 sin sin = = = 同理 B b sin =2R， C c sin ＝2R 证明三：（向量法） 过 A 作单位向量 j 垂直于 AC 由 AC + CB= AB a b c O B C A D
两边同乘以单位向量得j·(AC+CB)=j·AB 则j·AC+j·CB=j·AB j|· AC cos90+|j|·| CB cos(90-O)=|j|·AB|cos(90°- sin a sin c 同理,若过C作j垂直于CB得: b sinC sin B sin a sin b sin c 正弦定理的应用从理论上正弦定理可解决两类问题 1.两角和任意一边,求其它两边和一角 2.两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角。(见图示)已知a,b 和A,用正弦定理求B时的各种情况 (1)若A为锐角时 a< bsin a无解 a= sina 解(直角) sina<a<b二解(一锐,一钝) a≥b 解(锐角) 已知边ab和∠A a<cHbsinA a=CH=bina CHEbsinAsacb 仅有一个解 有两个解 仅有 a≤b无解 (2)若A为直角或钝角时 a>b一觚(锐角) 、讲解范例 例1已知在△ABC中,c=10,A=450,C=30,求a,b和B 解: 10.A B=180-(A+C)=105° 由 C得a=cmA10×sin453=102 用心爱心专心
用心 爱心 专心 2 两边同乘以单位向量 j 得 j •( AC + CB )= j • AB 则 j • AC + j •CB= j • AB ∴| j |•| AC |cos90+| j |•| CB |cos(90−C)=| j |•| AB |cos(90−A) ∴ a sin C = c sin A ∴ A a sin = C c sin 同理，若过 C 作 j 垂直于 CB 得： C c sin = B b sin ∴ A a sin = B b sin = C c sin 正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角； 2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角 奎屯 王新敞 新疆 （见图示）已知 a, b 和 A, 用正弦定理求 B 时的各种情况: ⑴若 A 为锐角时: = a b ( ) bsinA a b ( , ) a bsinA ( ) sin 一解 锐角 二解 一锐 一钝 一解 直角 a b A 无解 b a b a b a b a a 已知边a,b和A 有两个解 仅有一个解 无 解 仅有一个解 ab a<CH=bsinA a=CH=bsinA CH=bsinA<a<b A C B A C B1 A B A C B2 C H H H ⑵若 A 为直角或钝角时: a b ( ) 一解 锐角 a b 无解 三、讲解范例： 例 1 已知在 ABC中，c 10, A 45 ,C 30 ,求a,b和B 0 0 = = = 解： 0 0 c =10, A = 45 ,C = 30 ∴ 0 0 B =180 − (A+C) =105 由 C c A a sin sin = 得 10 2 sin 30 10 sin 45 sin sin 0 0 = = = C c A a
b=csnB_10×sn1050 sn30° 例2在△ABC中,b=√3,B=60°,c=1,求a和AC C:csn B1×sn60 B √3 b>c,B=60C<B,C为锐角,C=30°,B=90° 2 例3△ABC中,c=√6,A=45a=2,求b和BC 6×sn45 0 解 A ,. C- cs A 2 csnA<a<c,:C=600或l 当C=60°时,B=75°,b= csiB√6sn750 o=√3+1, 当C=120时,B=150b=csiB_√6sm150 sin c sin60° b=√3+1,B=750,C=60°或b=√3-1,B=150,C=120° 例4已知△ABC,BD为B的平分线,求证:AB:BC=AD:DC 分析:前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题,而B的平分线BD将△ ABC分成了两个三角形:△ABD与△CBD,故要证结论成立,可证明它的等价形式:AB:AD =BC:DC,从而把问题转化到两个三角形内,而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比 故可利用正弦定理将所证继续转化为 AB AD BO DC 再根据 sin abd sin aBd sin bdc sin DBC 相等角正弦值相等,互补角正弦值也相等即可证明结论 证明:在△ABD内,利用正弦定理得 AB Ad Ab sin ADB in A db sin abd ad sin ABD 在△BC内,利用正弦定理得: BC DC mn BC sin BDC BDC sin DBC BD是B的平分线。 ∴∠ABD=∠DBC∴ sinAl= sinDACo 用心爱心专心
用心 爱心 专心 3 由 C c B b sin sin = 得 5 6 5 2 4 6 2 20sin 75 20 sin 30 10 sin 105 sin sin 0 0 0 = + + = = = = C c B b 例 2 在 ABC b 3,B 60 ,c 1, a A,C 中， = = 0 = 求 和 解：∵ 2 1 3 sin 1 sin 60 , sin sin sin 0 = = = = b c B C C c B b 0 0 0 b c,B = 60 ,C B,C为锐角，C = 30 ,B = 90 ∴ 2 2 2 a = b + c = 例 3 ABC c 6, A 45 ,a 2, b B,C 中， = = 0 = 求 和 解： 2 3 2 sin 6 sin 45 , sin sin sin 0 = = = = a c A C C c A a 0 0 csin A a c,C = 60 或120 3 1 sin 60 6 sin 75 sin sin 60 75 , 0 0 0 0 = = = = = + C c B 当C 时，B b ， 3 1 sin 60 6 sin 15 sin sin 120 15 , 0 0 0 0 = = = = = − C c B 当C 时，B b b = 3 +1,B = 750 ,C = 600或 0 0 b = 3 −1, B = 15 ,C = 120 例 4 已知△ABC，BＤ为 B 的平分线，求证：AB∶BC＝AＤ∶ＤC 分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而 B 的平分线 BD 将△ ABC 分成了两个三角形：△ABD 与△CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB∶AD ＝BC∶DC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比， 故可利用正弦定理将所证继续转化为 DBC DC BDC BC ABD AD ABD AB sin sin , sin sin = = ，再根据 相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论 奎屯 王新敞 新疆 证明：在△ABD 内，利用正弦定理得： ABD ADB AD AB ABD AD ADB AB sin sin sin sin = 即 = 在△BCD 内，利用正弦定理得： . sin sin , sin sin DBC BDC DC BC DBC DC BDC BC = 即 = ∵BD 是 B 的平分线 奎屯 王新敞 新疆 ∴∠ABD＝∠DBC ∴sinABD＝sinDBC 奎屯 王新敞 新疆
∠ADB+∠BDC=180° sinAD=sin(180°-∠BDC)= sinBO AB ADb sin BDC BC sin abd sin DBc cd Ab AD 评述:此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系,并且注意互补角的 正弦值相等这一特殊关系式的应用。 四、课堂练习 1在△ABC中, =k,则k为() sin a sinb sin C AR C4R D.-R(为△ABC外接圆半径) 2。△ABC中,sin2sin2Bsin2C,则△ABC为() A直角三角形B等腰直角三角形C等边三角形D等腰三角形 3在△ABC中,sinA>sinB是A>B的 A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件 COS 2A COS 2B 4在△ABC中,求证 b 参考答案:1,2A a b sin a sin B sin a sin B A B 2B S COS 2A COS2B 五、小结正弦定理,两种应用 六、课后作业: 1在△ABC中,已知 in A sin( A-B) ,求证:a,b,c2成等差数列。 C sin( B-C) 证明:由已知得sin(B+C)sin(B-O)=sin(A+B)·sin(AB) 2cos2B=cos2A-+cos2C 2B1 2A1 2B 2 ∴2sin2B=sin2A+sin2C 由正弦定理可得2b=a+c2 即a,b,c2成等差数列 七、板书设计(略) 八、课后记 用心爱心专心
用心 爱心 专心 4 ∵∠ADB＋∠BDC＝180° ∴sinADB＝sin（180°－∠BDC）＝sinBDC ∴ CD BC DBC BDC ABD ADB AD AB = = = sin sin sin sin ∴ DC AD BC AB = 评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的 正弦值相等这一特殊关系式的应用 奎屯 王新敞 新疆 四、课堂练习： 1 奎屯 王新敞 新疆 在△ABC 中， k C c B b A a = = = sin sin sin ,则 k 为( ) A 奎屯 王新敞 新疆 2R B 奎屯 王新敞 新疆 R C 奎屯 王新敞 新疆 4R D 奎屯 王新敞 新疆 R 2 1 (R 为△ABC 外接圆半径) 2 奎屯 王新敞 新疆 △ABC 中，sin2 A=sin2 B+sin2 C，则△ABC 为( ) A 奎屯 王新敞 新疆 直角三角形 B 奎屯 王新敞 新疆 等腰直角三角形 C 奎屯 王新敞 新疆 等边三角形 D 奎屯 王新敞 新疆 等腰三角形 3 奎屯 王新敞 新疆 在△ABC 中，sinA＞sinB 是 A＞B 的 A 奎屯 王新敞 新疆 充分不必要条件 B 奎屯 王新敞 新疆 必要不充分条件 C 奎屯 王新敞 新疆 充要条件 D 奎屯 王新敞 新疆 既不充分也不必要条件 4 奎屯 王新敞 新疆 在△ABC 中，求证： 2 2 2 2 cos 2 cos 2 1 1 b a b B a A − = − 参考答案：1 奎屯 王新敞 新疆 A，2 奎屯 王新敞 新疆 A 3 奎屯 王新敞 新疆 C 4 奎屯 王新敞 新疆 B b A a sin sin = b B a sin A sin = 2 2 ) sin ) ( sin ( b B a A = 2 2 2 2 sin sin b B a A = 2 2 1 cos 2 1 cos 2 b B a A − = − 2 2 2 2 cos 2 cos 2 1 1 b a b B a A − = − 五、小结 正弦定理，两种应用 六、课后作业： 1 奎屯 王新敞 新疆 在△ABC 中，已知 sin( ) sin( ) sin sin B C A B C A − − = ，求证：a 2，b 2，c 2 成等差数列 奎屯 王新敞 新疆 证明：由已知得 sin（B＋C）sin（B－C）＝sin（A＋B）·sin（A－B） cos2B－cos2C＝cos2A－cos2B 2cos2B＝cos2A＋cos2C 2 1 cos 2 2 1 cos 2 2 1 cos 2 2 B A − B + − = − ∴2sin2 B＝sin2 A＋sin2 C 由正弦定理可得 2b 2＝a 2＋c 2 即 a 2，b 2，c 2 成等差数列 奎屯 王新敞 新疆 七、板书设计（略） 八、课后记：
课题:正弦定理、余弦定理(2) 教学目的: 1.掌握正弦定理、余弦定理; 2.使学生能初步运用它们解斜三角形,并会解决斜三角形的计算问题 教学重点:正弦定理、余弦定理的运用 教学难点:正弦定理、余弦定理的灵活运用 授课类型:新授课 课时安排:1课时 教具:多媒体、实物投影仪 教学过程 复习引入: 1正弦定理:在任一个三角形中,各边和它所对角的正弦比相等, 即=s们B 2R(R为△ABC外接圆半径) 2正弦定理的应用从理论上正弦定理可解决两类问题: 1.两角和任意一边,求其它两边和一角; 2.两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角。(见图示)已知a,b 和A,用正弦定理求B时的各种情况 a< bsin a无解 )若A为锐角时:=b5mnA一解(直角 bina<a<b二解(一锐,一钝) a≥b 解(锐角) 已知边a,b和∠A a=CH=bina CH=bs inAsasb 仅有一个解 a≤b无解 (2)若A为直角或钝角时 a>b一解(锐角) 3.在Rt△ABC中(若C=909)有:c2=a2+b2在斜三角形中一边的平方与其余两边平方 和及其夹角还有什么关系呢? 二、讲解新课: 1.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦 用心爱心专心
用心 爱心 专心 5 课 题：正弦定理、余弦定理（2） 教学目的： 1．掌握正弦定理、余弦定理； 2．使学生能初步运用它们解斜三角形，并会解决斜三角形的计算问题 奎屯 王新敞 新疆 教学重点：正弦定理、余弦定理的运用 奎屯 王新敞 新疆 教学难点：正弦定理、余弦定理的灵活运用 授课类型：新授课 课时安排：1 课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1 奎屯 王新敞 新疆 正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等， 即 A a sin = B b sin = C c sin =2R（R 为△ABC 外接圆半径） 2 奎屯 王新敞 新疆 正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角； 2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角 奎屯 王新敞 新疆 （见图示）已知 a, b 和 A, 用正弦定理求 B 时的各种情况: ⑴若 A 为锐角时: = a b ( ) bsinA a b ( , ) a bsinA ( ) sin 一解 锐角 二解 一锐 一钝 一解 直角 a b A 无解 b a b a b a b a a 已知边a,b和A 有两个解 仅有一个解 无 解 仅有一个解 ab a<CH=bsinA a=CH=bsinA CH=bsinA<a<b A C B A C B1 A B A C B2 C H H H ⑵若 A 为直角或钝角时: a b ( ) 一解 锐角 a b 无解 3．在 Rt△ABC 中(若 C=90)有： 2 2 2 c = a + b 在斜三角形中一边的平方与其余两边平方 和及其夹角还有什么关系呢？ 二、讲解新课： 1．余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦