解三角形时,我们在知道三角形的三个元素(至少有一边)时可以求出另三个元 素,称“知三求三” 例2在△ABC中,已知A=60°,a=3,b=√6,解三角形 【知识点:正弦定理,解三角形;数学思想数形结合】 详解根据正弦定理snB=如smA=2且b<a.则B<A故B=4° 所以C=75° asin3√2+ sin a 2 点拨在已知一角和两边(其中一边为该角的对边)的条件下用正弦定理求出另 一边对角的正弦值,一般可以运用大边对大角或三角形内角和定理对结果进行筛 选或排除,当然可以两者结合使用 例3在△ABC中,已知A=45°a=2,b=√6,解三角形 【知识点正弦定理解三角形:数学思想分类讨论、数形结合】 详解根据正弦定理inB bsin a √3 且b>a,则B>A,故B=60°或120° 当B=60时C=75°,解得c= asic=+ 当B=120时C=15°,解得c=asmC=-1 A 点拨和例2类似,已知两边和其中一边的对角用正弦定理求出另一边对角的正弦 值,此时这个角有锐角和钝角两种情况,注意分类讨论切不可先入为主的认为B= 60°而造成漏解 ·活动二对比提升,判断三角形解的个数 比较例2和例3,对于任意给定两边和其中一边的对角,三角形唯一确定吗?如何讨 论满足条件的三角形的解的个数? 在△ABC中,已知abA,结合例2、例3分析在求出sinB后,B的解的个数决定了 三角形解的个数 不难看到当A为直角或钝角时a>b,B必为锐角有唯一解;a≤b,无解 当A为锐角时我们可以用以下方法判断解的个数
解三角形时,我们在知道三角形的三个元素（至少有一边）时,可以求出另三个元 素,称“知三求三”. 例 2 在△ABC 中,已知 A＝60°,a＝3,b＝ 6 ,解三角形. 【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】 详解:根据正弦定理, sin 2 sin 2 b A B a = = ,且 b＜a,则 B＜A,故 B＝45°, 所以 C＝75°, sin 3 2 6 sin 2 a C c A + = = . 点拨:在已知一角和两边（其中一边为该角的对边）的条件下,用正弦定理求出另 一边对角的正弦值,一般可以运用大边对大角或三角形内角和定理对结果进行筛 选或排除,当然可以两者结合使用. 例 3 在△ABC 中,已知 A＝45°,a＝2,b＝ 6 ,解三角形. 【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:分类讨论、数形结合】 详解:根据正弦定理,sinB＝ b A sin a ＝ 3 2 ,且 b＞a,则 B＞A,故 B＝60°或 120°, 当 B＝60°时,C＝75°,解得 sin c= 3 1 sin a C A = + ； 当 B＝120°时,C＝15°,解得 sin c= 3 1 sin a C A = − . 点拨:和例 2 类似,已知两边和其中一边的对角,用正弦定理求出另一边对角的正弦 值,此时这个角有锐角和钝角两种情况,注意分类讨论,切不可先入为主的认为 B＝ 60°而造成漏解. ●活动二 对比提升,判断三角形解的个数 比较例 2 和例 3,对于任意给定两边和其中一边的对角,三角形唯一确定吗?如何讨 论满足条件的三角形的解的个数? 在△ABC 中,已知 a,b,A,结合例 2、例 3 分析,在求出 sinB 后,B 的解的个数决定了 三角形解的个数. 不难看到,当 A 为直角或钝角时,a＞b,B 必为锐角,有唯一解；a≤b,无解. 当 A 为锐角时,我们可以用以下方法判断解的个数
以C为圆心a为半径作圆弧观察该圆弧能否与c边相交交点数有多少 (1)当a< sina时,无解; (2)当a=bsin4时,一解; (3)当bsin4<a<b时,两解 (4)当公≥b时,一解 通过这个方法我们进一步可以验证当A为直角或钝角时的情形, (1)当∝≤b时无解; (2)当a>b时,解 ·活动三归纳提升综合应用新知识 利用正弦定理我们可以解哪些已知条件下的三角形? 1已知两角和任意一边求其他的边和角 2已知两边和其中一边的对角求其他的边和角 例4在△ABC中,已知A=60°,b=2,c=3,求△ABC的面积S 【知识点正弦定理】 详解=1 b=35 点拨直接应用三角形的面积公式即可 例5在△ABC中,已知A=120°a=3,b=√5,判断三角形的解的个数如有解求△ ABC的面积S 【知识点正弦定理,解三角形;数学思想数形结合】 详解:由A为钝角,且a>b故此三角形有唯一解
b a b a b a b a A C C A C A A C 以 C 为圆心,a 为半径作圆弧,观察该圆弧能否与 c 边相交,交点数有多少. (1)当 a＜bsinA 时,无解； (2)当 a＝bsinA 时,一解； (3)当 bsinA＜a＜b 时,两解； (4)当 a≥b 时,一解. 通过这个方法,我们进一步可以验证当 A 为直角或钝角时的情形, b a b a A C A C (1)当 a≤b 时,无解； (2)当 a＞b 时,一解. ●活动三 归纳提升,综合应用新知识 利用正弦定理,我们可以解哪些已知条件下的三角形? 1.已知两角和任意一边,求其他的边和角； 2.已知两边和其中一边的对角,求其他的边和角. 例 4 在△ABC 中,已知 A＝60°,b＝2,c＝3,求△ABC 的面积 S. 【知识点:正弦定理】 详解: 1 3 3 sin 2 2 S bc A = = . 点拨:直接应用三角形的面积公式即可. 例 5 在△ABC 中,已知 A＝120°,a＝3,b＝ 3 ,判断三角形的解的个数,如有解,求△ ABC 的面积 S. 【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】 详解:由 A 为钝角,且 a＞b,故此三角形有唯一解