专题22正弦定理和余弦定理 考情解读 1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题; 重点知识梳理 1.正、余弦定理 在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,C,R为△ABC外接圆半径,则 定理 正弦定理 余弦定理 d=b+22bccos A: 内容 sin A sin b sin c2R b=c+a2cacos B c=a+b-2abcos C (1)a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C: (2)sin A 常见 2p sin C-s C+a-b 变形|(3)a:b:c=sin_4:sinB:sin_G cos 4)asin B=bsin a, bsin C= csin B, asin C= a2+b2-c2 cOs C= csin a 2. SAMac=absin C=bcsin A=-acsin B-abc1 (a+b+c)·r(r是三角形内切圆的半径), 并可由此计算R,r 高频考点突破 高频考点一利用正弦定理、余弦定理解三角形 例1、(1)在△ABC中,已知a=2,b=V6,A=45°,则满足条件的三角形有() A.1个 B.2个 个 D.无法确定 (2)在△ABC中,已知sin:sinB=VE:1,d=B+√2be,则三内角A,B,C的度数依次是 (3设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c若a=5,.in=1,c=x,则b=
- 1 - 专题 22 正弦定理和余弦定理 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题； 1．正、余弦定理 在△ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为△ABC 外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ＝2R a 2＝b 2＋c 2 2bccos__A； b 2＝c 2＋a 2 2cacos__B； c 2＝a 2＋b 2－2abcos__C 常见 变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin_C； (2)sin A＝ a 2R ，sin B＝ b 2R ，sin C＝ c 2R ； (3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝ csin A cos A＝ b 2＋c 2－a 2 2bc ； cos B＝ c 2＋a 2－b 2 2ac ； cos C＝ a 2＋b 2－c 2 2ab 2.S△ABC＝ 1 2 absin C＝ 1 2 bcsin A＝ 1 2 acsin B＝ abc 4R ＝ 1 2 (a＋b＋c)·r(r 是三角形内切圆的半径)， 并可由此计算 R，r. 高频考点一 利用正弦定理、余弦定理解三角形 例 1、(1)在△ABC 中，已知 a＝2，b＝ 6，A＝45°，则满足条件的三角形有( ) A．1 个 B．2 个 C．0 个 D．无法确定 (2)在△ABC 中，已知 sinA∶sinB＝ 2∶1，c 2＝b 2＋ 2bc，则三内角 A，B，C 的度数依次是 ________． (3)设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a＝ 3，sinB＝ 1 2 ，C＝ π 6 ，则 b＝________
答案(1)B(2)45°,30°,105°(3)1 解析(02m=5×2-5.K ∴满足条件的三角形有2个 (2)由题意知a=Vb,a2=b2+c2-2bs, 即2b2=82+c2-2bcoA, 又c2=b2+√2bc ∴osA=n,A=45°,sinB=,B=30°,∴C=105° 因为8=组B∈0,n,所以B=或B= 兀 又 C=,B+C<π,所以B A=兀一B-c 6 又a=3,由正弦定理得b,即√b sinb sin 3 2兀 SI 解得 【感悟提升】(1)判断三角形解的个数的两种方法 ①代数法:根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断 ②几何图形法:根据条件画出图形,通过图形直观判断解的个数 (2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理,也可用余弦定理.用正弦 定理时,需判断其解的个数,用余弦定理时,可根据一元二次方程根的情况判断解的个数 【变式探究】(1)已知在△ABC中,a=x,b=2,B=45°,若三角形有两解,则x的取值范围 是() B.x<2 (2)在△ABC中,A=60°,AC=2,BC=√3,则AB= 答案(1)C(2)1 解析(1)若三角形有两解,则必有a>b,∴x>2, 又由sinA=sinB=×<1, 可得x
- 2 - 答案 (1)B (2)45°，30°，105° (3)1 解析 (1)∵bsinA＝ 6× 2 2 ＝ 3，∴bsinA<a<b. 解得 b＝1. 【感悟提升】(1)判断三角形解的个数的两种方法 ①代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断． ②几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数． (2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形．可用正弦定理，也可用余弦定理．用正弦 定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数． 【变式探究】(1)已知在△ABC 中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则 x 的取值范围 是( ) A．x＞2 B．x＜2 C．2＜x＜2 2 D．2＜x＜2 3 (2)在△ABC 中，A＝60°，AC＝2，BC＝ 3，则 AB＝________. 答案 (1)C (2)1 解析 (1)若三角形有两解，则必有 a＞b，∴x＞2， 又由 sinA＝ a b sinB＝ x 2 × 2 2 ＜1， 可得 x＜2 2
∴x的取值范围是2<x<2VE (2)∵A=60°,AC=2,BC=V, 设AB=x,由余弦定理,得 BC=AC+AB-2AC. ABcosA 化简得x2-2x+1=0, ∴x=1,即AB=1. 高频考点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 例2、(2015·浙江)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知A=,b-a (1)求tanC的值 2)若△ABC的面积为3,求b的值 解(1)由B2-a2=c2及正弦定理得 sina 22 所以-cos2B=sin2C① 又由A=4,即B+ 得 52B cOsn兀 2c =sin2C=2 sin ccssc,② 由①②解得tanC=2 2)由tanC=2,C∈(0,π)得 sing- COSC= 因为sinB=sin(A+0= 所以sinB=
- 3 - ∴x 的取值范围是 2＜x＜2 2. (2)∵A＝60°，AC＝2，BC＝ 3， 设 AB＝x，由余弦定理，得 BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC·ABcosA， 化简得 x 2－2x＋1＝0， ∴x＝1，即 AB＝1. 高频考点二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 例 2、(2015·浙江)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知 A＝ π 4 ，b 2－a 2 ＝ 1 2 c 2 . (1)求 tanC 的值； (2)若△ABC 的面积为 3，求 b 的值． 解 (1)由 b 2－a 2＝ 1 2 c 2 及正弦定理得 (2)由 tanC＝2，C∈(0，π)得 sinC＝ 2 5 5 ，cosC＝ 5 5 ， 因为 sinB＝sin(A＋C)＝sin π 4 ＋C ， 所以 sinB＝ 3 10 10
由正弦定理得c=2 又因为=4,ain=3, 所以bc=6VE,故b=3 【感悟提升】 (1)对于面积公式S= abs inC= actinG= basina,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式 (2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化 【变式探究】四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2. (1)求C和BDA (2)求四边形ABCD的面积 解(1)由题设A与C互补及余弦定理得 BD=B2+C-2BC· CAosc=13-12cosC,① BD=AB+D-2AB· DAcos a=5+4cosC.② 由①②得cosC=z BD- V7, 因为C为三角形内角,故C=60 (2)四边形ABCD的面积 S==AB· ASina+=BC· CInc ×1×2+×3×2sin60° =2N3 高频考点三正弦、余弦定理的简单应用 例3、设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,若bosC+cosB= asin A,则△ ABC的形状为() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 不确定 解析由正弦定理得 sin Bcos C+ sin Coos B=sin2A sin(B+C)=sin2A 即sin(兀-A)=sim2A,sinA=sin2A A∈(0,丌),∴sinA>0,∴sinA=1,即4
- 4 - 由正弦定理得 c＝ 2 2 3 b， 又因为 A＝ π 4 ， 1 2 bcsinA＝3， 所以 bc＝6 2，故 b＝3. 【感悟提升】 (1)对于面积公式 S＝ 1 2 absinC＝ 1 2 acsinB＝ 1 2 bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式． (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． 【变式探究】四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2. (1)求 C 和 BD； (2)求四边形 ABCD 的面积． 解 (1)由题设 A 与 C 互补及余弦定理得 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC·CDcosC＝13－12cosC，① BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB·DAcosA＝5＋4cosC．② 由①②得 cosC＝ 1 2 ，BD＝ 7， 因为 C 为三角形内角，故 C＝60°. (2)四边形 ABCD 的面积 S＝ 1 2 AB·DAsinA＋ 1 2 BC·CDsinC ＝ 1 2 ×1×2＋ 1 2 ×3×2 sin60° ＝2 3. 高频考点三 正弦、余弦定理的简单应用 例 3、设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bcos C＋ccos B＝asin A，则△ ABC 的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定
答案B 【感悟提升】(1)判断三角形形状的方法 ①化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状 ②化角:通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断三角形的形状,此时要注意应用A +B+C=这个结论 (2)求解几何计算问题要注意 ①根据已知的边角画出图形并在图中标示: ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理 【变式探究】(1)在△ABC中,内角A,B,C所对的边长分别是a,b,C,若c- acos=(2a b)cosA,则△ABC的形状为() A.等腰三角形B.直角三角形 C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形 (2)如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC= AB= v 2 AD=3, BD的长为 B D 答案(1)D(2) 解析(1)∴c-asB=(2a-b)o C=兀一(A+B), ∴由正弦定理得sinC- sinAcom 2sinAcosA-sinBcosA, sinAcosb+ cosAsinB-sin B =2sinAcosA-sinbcosa ∴cosA(sinB-sinA)=0, cosA=0或sinB=sinA, A=戏或B=4或B=兀一4舍去) ∴△ABC为等腰或直角三角形 (2)sin∠BAC=sin(x+∠BAD=cos∠BAD
- 5 - 答案 B 【感悟提升】(1)判断三角形形状的方法 ①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． ②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用 A ＋B＋C＝π 这个结论． (2)求解几何计算问题要注意 ①根据已知的边角画出图形并在图中标示； ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理． 【变式探究】(1)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边长分别是 a，b，c，若 c－acosB＝(2a －b)cosA，则△ABC 的形状为( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 (2)如图，在△ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝ 2 2 3 ，AB＝3 2，AD＝3，则 BD 的长为______． 答案 (1)D (2) 3 ∴△ABC 为等腰或直角三角形． (2)sin∠BAC＝sin( π 2 ＋∠BAD)＝cos∠BAD