余弦定理 、选择题 1.(2016天津高考)在△ABC中,若AB=√13,BC=3,∠C=120°,则AC=( 2.在△ABC中,已知a2=b2+bc+c2,则角A为( -323 3.若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)-c2=4,且C=60°,则ab 的值为() D 4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+2-b2)anB=5ac,则角 为() D 5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c若a=1,c=4E,B=45°,则 sinC等于() 44 、填空题 6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 √3,则 7.在△ABC中,已知a,b是方程x2-5x+2=0的两根,C=120°,则边c 8.(2015重庆高考)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cosC 三、解答题 9.(2016北京高考)在△ABC中,a2+c2=b2+√2ac
1 余弦定理 一、选择题 1．(2016·天津高考)在△ABC 中，若 AB＝ 13，BC＝3，∠C＝120°，则 AC＝( ) A．1 B．2 C．3 D．4 2．在△ABC 中，已知 a 2＝b 2＋bc＋c 2，则角 A 为( ) A.π 3 B.π 6 C.2π 3 D.π 3 或 2π 3 3．若△ABC 的内角 A，B，C 所对的边 a，b，c 满足(a＋b) 2－c 2＝4，且 C＝60°，则 ab 的值为( ) A.4 3 B．8－4 3 C．1 D.2 3 4．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若(a 2＋c 2－b 2 )tanB＝ 3ac，则角 B 为( ) A.π 6 B.π 3 C.π 6 或 5π 6 D.π 3 或 2π 3 5．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 a＝1，c＝4 2，B＝45°，则 sinC 等于( ) A. 4 41 B.4 5 C. 4 25 D.4 41 41 二、填空题 6．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a＝1，b＝ 7，c＝ 3，则 B＝________. 7．在△ABC 中，已知 a，b 是方程 x 2－5x＋2＝0 的两根，C＝120°，则边 c＝________. 8．(2015·重庆高考)设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a＝2，cosC ＝－ 1 4 ，3sinA＝2sinB，则 c＝________. 三、解答题 9．(2016·北京高考)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋ 2ac
(1)求∠B的大小 (2)求2cos+coC的最大值 10.已知A,B,C是△ABC的三个内角,且满足(sin4- -sinb(sinA+snB)=sinC2sin4 sinC) (1)求角B (2)若sin4=,求coC的值 2
2 (1)求∠B 的大小； (2)求 2cosA＋cosC 的最大值． 10．已知 A，B，C 是△ABC 的三个内角，且满足(sinA－sinB)(sinA＋sinB)＝sinC( 2sinA －sinC)． (1)求角 B； (2)若 sinA＝ 3 5 ，求 cosC 的值．
答案与解析 1.A在△ABC中,由余弦定理得AB2=BC2+AC2-2× BCXAC×cosC,即13=9+ AC2-2×3AC ∴AC2+3AC-4=0,∴AC=1或AC=-4(舍去) 2.C由已知得b2+c2-a2=-bc =b2+c-a=-1 2bc 又:0<4元,…:A=2 3.A∵(a+b)2-c2=4,∴a2+b2 B. 由余弦定理得coCa+b2-c2 ∠b=a a2+e2-b2√3 即 cosBtanB √3 B=或 2TU 5.B由余弦定理得b2=a2+c2-2 accosT 12+(42-2×1×4×￥2=25 ∴b=5.∴coSC= a2+b2-c23 a2+c2-b21+3-7 解析:由余弦定理得cosB= 2×1 2,又0B<丌,B=5 7
3 答案与解析 1．A 在△ABC 中，由余弦定理得 AB2＝BC2＋AC2－2×BC×AC×cosC，即 13＝9＋ AC2－2×3AC× － 1 2 ，∴AC2＋3AC－4＝0，∴AC＝1 或 AC＝－4(舍去)． 2．C 由已知得 b 2＋c 2－a 2＝－bc， ∴cosA＝ b 2＋c 2－a 2 2bc ＝－ 1 2 ， 又∵0<A<π，∴A＝ 2π 3 . 3．A ∵(a＋b) 2－c 2＝4，∴a 2＋b 2－c 2＝4－2a B. 由余弦定理得 cosC＝ a 2＋b 2－c 2 2ab ＝cos60°＝ 1 2 ， ∴4－2ab＝ab，∴ab＝ 4 3 . 4．D ∵(a 2＋c 2－b 2 )tanB＝ 3ac， ∴ a 2＋c 2－b 2 2ac tanB＝ 3 2 ， 即 cosBtanB＝ 3 2 ，∴sinB＝ 3 2 ， ∴B＝ π 3 或 2π 3 . 5．B 由余弦定理得 b 2＝a 2＋c 2－2accosB＝ 1 2＋(4 2) 2－2×1×4 2× 2 2 ＝25. ∴b＝5.∴cosC＝ a 2＋b 2－c 2 2ab ＝－ 3 5 ， sinC＝ 1－cos2C＝ 4 5 . 6.5π 6 解析：由余弦定理得 cosB＝ a 2＋c 2－b 2 2ac ＝ 1＋3－7 2×1× 3 ＝－ 3 2 ，又 0<B<π，∴B＝ 5π 6 . 7. 23
解析:由题意得a+b=5,b=2.(a+b)2=a2+b2+2ab,∵25=a2+b2+4,即a2+b2 =21:c2=a2+b2-2 abcs120°=21-2×2 解析:∵3sinA=2sinB,∴由正弦定理得3a=2 a=2,∴b=3 a2+b2 由余弦定理cosC= 得、122+32-c 42×2×3 即a2=16又c>0, 9.解:(1)由余弦定理及题设得cosB a2+c2-b2V2ac√2 ,又∵0<B<π,∴B (2)由(1)得A+C=3, ∴2cos4+cosC cos A+co √2 cosA--cosA+-sina 0 ,∴当A=时,V2cos4+coC取最大值1 10.解:(1)由已知得sinA-siB=V2 sinsing-sin2C, 由正弦定理得a2-b2=√2ac-a2,即 a+c-b=2ac 由余弦定理得csB=a2+e2-b2=y5a=y2 又0<B<π,∴B=x (2)∵ sinA= A<B,∴A为锐角
4 解析：由题意得 a＋b＝5，ab＝2.∵(a＋b) 2＝a 2＋b 2＋2ab，∴25＝a 2＋b 2＋4，即 a 2＋b 2 ＝21.∴c 2＝a 2＋b 2－2abcos120°＝21－2×2× － 1 2 ＝23，∴c＝ 23. 8．4 解析：∵3sinA＝2sinB，∴由正弦定理得 3a＝2 B. ∵a＝2，∴b＝3. 由余弦定理 cosC＝ a 2＋b 2－c 2 2ab ， 得－1 4 ＝ 2 2＋3 2－c 2 2×2×3 ， 即 c 2＝16.又 c>0， ∴c＝4. 9．解：(1)由余弦定理及题设得 cosB＝ a 2＋c 2－b 2 2ac ＝ 2ac 2ac ＝ 2 2 ，又∵0<B<π，∴B＝ π 4 . (2)由(1)得 A＋C＝ 3π 4 ， ∴ 2cosA＋cosC ＝ 2cosA＋cos 3π 4 －A ＝ 2cosA－ 2 2 cosA＋ 2 2 sinA ＝ 2 2 cosA＋ 2 2 sinA ＝cos A－ π 4 . ∵0<A< 3π 4 ，∴当 A＝ π 4 时， 2cosA＋cosC 取最大值 1. 10．解：(1)由已知得 sin2A－sin2B＝ 2sinAsinC－sin2C， 由正弦定理得 a 2－b 2＝ 2ac－c 2，即 a 2＋c 2－b 2＝ 2ac. 由余弦定理得 cosB＝ a 2＋c 2－b 2 2ac ＝ 2ac 2ac ＝ 2 2 ， 又 0<B<π，∴B＝ π 4 . (2)∵B＝ π 4 ，sinA＝ 3 5 < 2 2 ， ∴A<B，∴A 为锐角．
cOSA os(a cos--coSA+sin--sinA xy×3
5 ∴cosA＝ 4 5 . ∴cosC＝cos 3π 4 －A ＝cos 3π 4 cosA＋sin3π 4 sinA ＝－ 2 2 × 4 5 ＋ 2 2 × 3 5 ＝－ 2 10