·6 例11设P(工)是n次实系数多项式，若P(工)的根都是实数，证明：P'(z)的根也都 是实数. 例12B()=(2-1)”，求证Bm(e)在(-1,1)内有n个相异的实根 例13讨论曲线y=4l血x+k与y=4r+lmx的交点的个数. 七.不等式证明 万法： (1)单调性 (2)凹凸性 3)最值 (④)中值定理(（Lagrange,Cauchy,Taylor) 例1设f"(a)<0,f0)=0,证明对任意x1>0,x2>0有f红1+x2)<f(红1)+ f2 八.证明关于()的等式（不等式） 例1设f)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f0)-0,f四)=2，证明存在不同 的，n∈(0,1)，使得fr()+f()=+ 例2设f)∈C0,f)在0,1)内可导，f0)=0,f四=1，证明：对任意正 数a,6,在(0,1)内存在不同的，使得 府+而=a+ 九.Taylor公式 1.牢记几个基本初等函数的Maclaurin公式. =1+红+贡++后+十州 -00<x<+o. 血r=营++一+ma -00<x<+0 x2m-2（-1)mx2m mr=1-贡++-m-2n-2n+2mcme,0<0<1h,-o<r<+x 0+°=1+ar+aa2+.+aa-小a-n+
· 6 · ~11 P(x)¥ng¢XÍıë™,eP(x)ä—¥¢Í,y²:P 0 (x)äè— ¥¢Í. ~12 B(x) = (x 2 − 1)n ,¶yB(n) (x)3(−1, 1)SknáÉ.¢ä. ~13 ?ÿÇy = 4 ln x + kÜy = 4x + ln4 x:áÍ. ‘.ÿ ™y² ê{µ (1) ¸N5 (2) ]‡5 (3) Åä (4) •ä½n(Lagrange, Cauchy, Taylor) ~1 f 00(x) < 0, f(0) = 0,y²È?øx1 > 0, x2 > 0kf(x1 + x2) < f(x1) + f(x2). l.y²'uξ(η) ™(ÿ ™) ~1 f(x)3[0, 1]˛ÎY,3(0, 1)Så,Öf(0) = 0, f(1) = 1 2 ,y²3ÿ” ξ, η ∈ (0, 1),¶f 0 (ξ) + f 0 (η) = ξ + η. ~2 f(x) ∈ C[0, 1], f(x)3(0, 1)Så,f(0) = 0, f(1) = 1,y²µÈ?ø Ía, b,3(0, 1)S3ÿ”ξ, η¶ a f 0(ξ) + b f 0(η) = a + b. .Taylor ˙™ 1.OPAრ– ºÍMaclaurin˙™. e x = 1 + x + x 2 2! + · · · + x n n! + e θx (n + 1)!x n+1 , −∞ < x < +∞. sin x = x − x 3 3! + · · · + (−1)m−1 x 2m−1 (2m − 1)! + (−1)mx 2m+1 (2m + 1)! cos θx, −∞ < x < +∞. cos x = 1− x 2 2! +· · ·+(−1)m−1 x 2m−2 (2m − 2)!+ (−1)mx 2m (2m)! cos θx, 0 < θ < 1., −∞ < x < +∞. (1 + x) α =1 + αx + α(α − 1) 2! x 2 + · · · + α(α − 1)· · ·(α − n + 1) n! x n
.7. +aa-》,:a=mr*h0+8rp-, (n+1)！ 0<6<1. x>-1 (-1) nlt=-号++-l-+n++a 0<6<1.x>-1. 2.Taylor公式的应用 (1).近似计算. (2).利用Taylor求极限 (③).利用函数的Taylor公式求函数在某点的高阶导数 (④.利用Tay1or公式证明不等式 (⑤).其它 例1.设f)=e,求fo(O) 例2.设fe)在a,上有二阶导数，f@)=f(⑥)=0，试证∈(a,.使得r”（e川≥ -p/-fo（同-点值写成不同点的vlor公式） 例3.设fe)在(-0，+)有界，并有非负的二阶导数求证f)=c(c为常数 +a22+.anx,(a≠0，并 4设阳是n次多项武。as-试运 且fo)=fxo) ·=f xo是方程f(r)=0的m+1重根. 例5设fe)在以xo为内点的某区间1上有连续的二阶导数，f"(xo)≠0，对于0+ h∈I有中值定理f(eo+)=f(o)+hf(2o+h)(0<9<1),证明6=2 例6函数fx)在区间-1,1]上具有三阶导数，且f(-1)=0,f1)=1,fO)= 0,证明：3∈(-1,1)，使得"()=3.（不同点值写成在同一点Taylor公式） 倒7设f回在(-0，十o)内有三阶导数，极限职，f,”国都 存在有限且，典了"回=0，证明职f回=0，典了回=0 一般情形下，只要见到函数2阶或2阶以上可导，就应该想到Taylor公式.使用 方法 (1)有时在某固定点xo处的Taylor公式，有时是在x处的Taylor公式， (2)将不同点的函数值写成同一点的Taylor公式，然后将两个式子相加（减）， (3)将一点的值写成不同点的Taylor公式，然后将两个式子相加（减）. 十.求极限的方法
· 7 · + α(α − 1)· · ·(α − n) (n + 1)! x n+1(1 + θx) α−n−1 , 0 < θ < 1. x > −1. ln(1+x) = x− x 2 2 +· · ·+(−1)n−1 x n n + (−1)nx n+1 (n + 1)(1 + θx) n+1 , 0 < θ < 1. x > −1. 2. Taylor˙™A^ (1). CqOé. (2). |^Taylor¶4Å. (3). |^ºÍTaylor˙™¶ºÍ3,:p Í. (4). |^Taylor˙™y²ÿ ™. (5). Ÿß ~1. f(x) = e −x 2 ,¶f (10)(0). ~2. f(x)3[a, b]˛k Í,f 0 (a) = f 0 (b) = 0,£y:∃ξ ∈ (a, b),¶|f 00(ξ)| ≥ 4 (b − a) 2 |f(b) − f(a)|.(”ò:ä§ÿ”:Taylor ˙™) ~3. f(x)3(−∞, +∞)k.,øköK Í,¶yf(x) = c (cè~Í). ~4 f(x)¥ngıë™,f(x) = a0 + a1x + a2x 2 + · · · anx n, (an 6= 0),ø Öf(x0) = f 0 (x0) = · · · = f (m) (x0) = 0, f(m+1)(x0) 6= 0 (m ≤ n − 1),£yx = x0¥êßf(x) = 0m + 1ä. ~5 f(x)3±x0èS:,´mI˛kÎY Í,f 00(x0) 6= 0,Èux0+ h ∈ Ik•ä½nf(x0 + h) = f(x0) + hf0 (x0 + θh) (0 < θ < 1),y²lim h→0 θ = 1 2 . ~6 ºÍf(x)3´m[−1, 1]˛‰kn Í,Öf(−1) = 0, f(1) = 1, f0 (0) = 0,y²¶∃ ξ ∈ (−1, 1),¶f 000(ξ) = 3. (ÿ”:ä§3”ò:Taylor˙™) ~7 f(x)3(−∞, +∞)Skn Í,4Å limx→∞ f(x), limx→∞ f 0 (x), limx→∞ f 00(x)— 3kÅ,Ö limx→∞ f 000(x) = 0,y² limx→∞ f 0 (x) = 0, limx→∞ f 00(x) = 0. òÑú/e,êáѺÍ2 ½2 ±˛å,“ATéTaylor˙™.¶^ ê{: (1) kû3,½:x0?Taylor˙™,kû¥3x?Taylor˙™. (2) Úÿ”:ºÍ䧔ò:Taylor ˙™,Ú¸á™fÉ\(~). (3) Úò:ä§ÿ”:Taylor˙™,Ú¸á™fÉ\(~). õ.¶4Åê{