性质3(保号性)若limf(x)=A且A>0(或 x->x0 A<0),则存在某个空心邻域N(028),在N(x,⑧)内 f(x)>0(或f(x)<0) 推论若在某个空心邻域N(x0,8)内,f(x)≥0(或 f(x)≤0),且imf(x)=A,则A≥0(或A≤0) x->x0 性质4(夹逼准则)若x∈N(x0,8)(其中δ为 某个正常数)时,有g(x)≤f(x)≤h(x) lim g(x)=lim h(x)=A, J lim f(x)=A. x-x0 x->x0 x→x 上述性质,若把x→x换成自变量x的其他变化过 程,有类似的结论成立
性 质 3 (保 号性) 若 f x A x x = → lim ( ) 0 且 A0(或 A 0 )，则存在某个空心邻域 (ˆ , ) 0 N x ， 在 (ˆ , ) 0 N x 内 f (x) 0 (或 f (x) 0)． 推 论 若在某个空心邻域 (ˆ , ) 0 N x 内 ， f (x)≥0 (或 f (x)≤0)， 且 f x A x x = → lim ( ) 0 ,则 A≥0 (或 A≤0 ). 性质 4 (夹逼准则) 若 x (ˆ , ) 0 N x (其中 为 某 个 正 常 数 ) 时 ， 有 g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) ， g x h x A x x x x = = → → lim ( ) lim ( ) 0 0 ,则 f x A x x = → lim ( ) 0 . 上述性质，若把 0 x → x 换成自变量 x的其他变化过 程，有类似的结论成立．
四、极限分析定义 定义1(极限的-δ定义)设f(x)在x0的某个 邻域N(x0,6)中有定义,若对任意给定的正数E,存在 δ>0,使得当0<x-x0<6时,总有f(x)-A<E成立, 则称x→>x时,f(x)以A为极限,记为imf(x)=A. x->x0 五、无穷小量 1.无穷小量的定义 定义8极限为零的变量称为无穷小量,简称无穷小 说明(1)数零是惟一可作为无穷小的常数 (2)无穷小表达的是量的变化状态,而不是量的大 小.一个量不管多么小,都不能是无穷小量,零是惟一例外 的.即无穷小量是绝对值无限变小且趋于零的量
定 义 1 (极限的 − 定 义) 设 f (x)在 0 x 的某个 邻 域 ( , ) N x0 中有定义，若对任意给定的正数 ，存在 0，使得当0 x − x0 时，总有 f (x) − A 成立， 则 称 0 x → x 时 ， f (x)以 A 为极限，记为 f x A x x = → lim ( ) 0 ． 五、无穷小量 1． 无穷小量的定义 定义 8 极限为零的变量称为无穷小量，简称无穷小． 说明（1）数零是惟一可作为无穷小的常数. （2）无穷小表达的是量的变化状态，而不是量的大 小．一个量不管多么小，都不能是无穷小量，零是惟一例外 的．即无穷小量是绝对值无限变小且趋于零的量． 四、极限分析定义
例4自变量x在怎样的变化过程中,下列函数为无 穷小:(1)y 1 (2)y=2x-1;(3)y=2;(4)y 4 解(1)因为lm-=0,所以当x→∞时, 为无 x←0 穷小 (2)因为im(2x-1)=0,所以当x时,2x-1 x→ 为无穷小; (3)因为lm2x=0,所以当x→-∞时,2x为无 穷小 (4)因为im 0,所以当x→>+∞时, 为 无穷小
例 4 自变量x在怎样的变化过程中，下列函数为无 穷小： 1 1 (1) − = x y ；(2) y = 2x −1； x (3) y = 2 ； x y = 4 1 (4) . 解 (1) 因为 0 1 1 lim = x x − ，所以当x → 时， 1 1 x − 为无 穷小； (2) 因为lim(2 1) 0 2 1 − = → x x ，所以当 2 1 x → 时 ， 2x −1 为无穷小； (3) 因 为 lim 2 = 0 →− x x ，所以当x → −时 ， x 2 为 无 穷小； (4) 因为 0 4 1 lim = →+ x x ，所以当x → +时， x 4 1 为 无穷小．
2.极限与无穷小量之间的关系 设limf(x)=A,即x→>x0时,函数值f(x)无限接 近于常数A,也就是说f(x)-A无限接近于常数零,即 x→>x时,f(x)-A以零为极限,也就是说x→>x时, f(x)-A为无穷小量,若记a(x)=f(x)-A,则有 f(x)=A+a(x),于是有 定理4(极限与无穷小量之间的关系) limf(x)=A的充要条件是f(x)=A+a(x),其中a(x) 是x→>x0时的无穷小量 定理4中自变量x的变化过程换成其他任何一种情 形(x→x2x→x02,x→+∞,x→-∞,x→∞)后仍然成 立
2． 极限与无穷小量之间的关系 设 f x A x x = → lim ( ) 0 ， 即 0 x → x 时，函数值 f (x)无限接 近于常数 A，也就是说 f (x) − A无限接近于常数零，即 0 x → x 时， f (x) − A以零为极限，也就是说 0 x → x 时， f (x) − A 为 无 穷小 量， 若 记 (x) = f (x) − A ，则有 f (x) = A+(x)，于是有 定 理 4 ( 极 限 与 无 穷 小 量 之 间 的 关 系 ) f x A x x = → lim ( ) 0 的充要条件是 f (x) = A+(x)，其中 ( x ) 是 0 x → x 时的无穷小量． 定理 4 中自变量 x的变化过程换成其他任何一种情 形 ( , , , → 0 → 0 → + + − x x x x x x → −, x → ) 后仍然成 立．
例5当x→>∞时,将函数f(x) x+1 写成其极限值与 个无穷小量之和的形式 解因为limf(x)=mmx+1=lim(1+-)=1 而 x→00 x→0 x+1 f(x) 1+中的为x→>∞时的无穷小量,所以, x f(x)=1+为所求极限值与一个无穷小量之和的形式 3.无穷小量的运算性质 定理5有限个无穷小的代数和是无穷小量 说明:无穷多个无穷小量的代数和未必是无穷小量.如 n→0 时 均为无穷小量,但 lim(2+-2+…+-2)=linn(n+1) lim(-+ n-o nn n→00 2n n→∞22
解 因 为 ) 1 1 lim(1 1 lim ( ) lim = + = + = → → x → x x f x x x x ， 而 x x x f x 1 1 1 ( ) = + + = 中 的 x 1 为 x → 时的无穷小量，所以， x f x 1 ( ) =1+ 为所求极限值与一个无穷小量之和的形式． 3． 无穷小量的运算性质 定理 5 有限个无穷小的代数和是无穷小量． 说明：无穷多个无穷小量的代数和未必是无穷小量.如 n → 时 ， , 2 , 1 2 2 n n 2 n n 均 为 无 穷 小 量 ， 但 2 1 ) 2 1 2 1 lim( 2 ( 1) ) lim 1 2 lim( 2 2 2 2 = + = + + + + = → → n → n n n n n n n n n n . 例 5 当x → 时，将函数 x x f x 1 ( ) + = 写成其极限值与 一个无穷小量之和的形式．