例3由图5可知:1im-=0;lim-=0 x> x x→-00 由图6可知 lim e=0 y= 图5 图6
例 3 由图 5 可知： 0 1 lim = x→ x ； 0 1 lim = x→− x ． 图 5 O x y x y e − = O x y x y 1 = 图 6 由图 6 可知 lim e = 0 − →+ x x ．
二、数列的极限 1.数列的概念 设自变量为正整数的函数un=f(m)(n=1,2…),其 函数值按自变量n由小到大排列成一列数 ln2…称为数列,将其简记为{un},其中un 为数列{un}的通项或一般项 1111 例如u 相应的数列为 n 2.数列的极限 定义7对于数列n},如果当n无限增大时,通 项n无限接近于某个确定的常数A,则称A为数列{u 的极限,或称数列{n}收敛于A,记为lim{un}=A或 n→00 ln→>A(n→>∞).若数列{n没有极限,则称该数列发散
1． 数列的概念 设自变量为正整数的函数u = f (n)(n =1,2,) n ， 其 函 数 值 按 自 变 量 n 由 小 到 大 排 列 成 一 列 数 , , ,, , 1 2 3 n u u u u 称为数列，将其简记为un，其中 un 为数列un的通项或一般项． 例如 n n u 2 1 = ，相应的数列为 , 2 1 , 2 1 , 2 1 , 2 1 2 3 n 2． 数列的极限 定义 7 对于数列un，如果当 n无限增大时，通 项 n u 无限接近于某个确定的常数 A，则称 A为数列un 的极限，或称数列un收敛于 A，记为 un A n = → lim{ } 或 u → A(n → ) n ． 若数列un没有极限，则称该数列发散． 二、数列的极限
例3观察下列数列的极限: n+ (3)un=2n+1: (4)un=(-1)” 解观察数列在n→>∞时的发展趋势,得 即 123 (1)对于数列u 极限 n+ 234n+1 lim n+1 (2)对于数列n=1,即 111 极限lm=0 n→>∞)m (3)对于数列n=2n+1,即35,7,,2n+1,…,极限 lim(2n+1)不存在; n→)0 (4)对于数列un=(-1)m,即1,-1,1,,(-1)+1…极限 im(-1)不存在 n→)0
例 3 观察下列数列的极限： (1) +1 = n n un ： (2) n n u 2 1 = ： (3) un = 2n +1： (4) 1 ( 1) + = − n un ． 解 观察数列在n → 时的发展趋势，得 （ 1 ） 对于数列 +1 = n n un ， 即 ,... 1 ,..., 4 3 , 3 2 , 2 1 n + n 极 限 1 1 lim = → n + n n ； （2）对于数列 n n u 2 1 = ，即 ,... 2 1 ,..., 2 1 , 2 1 , 2 1 2 3 n 极限 0 2 1 lim = → n n ； （ 3 ） 对 于 数 列 un = 2n +1 ， 即 3,5,7,...,2n +1,... 极 限 lim(2 +1) → n n 不存在； （ 4 ） 对 于数 列 1 ( 1) + = − n un ， 即1, 1,1,...,( 1) ,... +1 − − n 极 限 1 lim( 1) + → − n n 不存在．
3.数列极限存在定理 单调数列如果数列{n}对于每一个正整数n,都 有un<un1,则称数列{un}为单调递增数列;类似地,如 果数列{n}对于每一个正整数n,都有un>n1,则称数 列{n}为单调递减数列 有界数列如果对于数列{un},存在一个正常数 M,使得对于每一项n,都有n|≤M,则称数列{l 为有界数列
3.数列极限存在定理 单调数列 如果数列{ }n u 对于每一个正整数 n，都 有un un+1，则称数列{ } un 为单调递增数列；类似地，如 果数列{ }n u 对于每一个正整数 n，都有 n n+1 u u ，则称数 列{ } un 为单调递减数列． 有界数列 如果对于数列 { } un ，存在一个正常数 M ，使得对于每一项 un，都有| | n u ≤M，则称数列 { } un 为有界数列．
定理3(单调有界原理)单调有界数列必有极限 三、极限的性质 性质1(惟一性)若limf(x)=A,limf(x)=B, x->x0 x->x0 则A=B 性质2(有界性)若imf(x)=A,则存在x0的 x-x 某一空心邻域N(x,8),在N(x,。8)内函数(x)有界
定理 3 (单调有界原理) 单调有界数列必有极限． 性质 性质 1 (惟一性) 若 f x A x x = → lim ( ) 0 ， f x B x x = → lim ( ) 0 ， 则 A = B. 性质 2 (有界性) 若 f x A x x = → lim ( ) 0 ，则存在 0 x 的 某一空心邻域 (ˆ , ) 0 N x ，在 (ˆ , ) N x0 内函数f(x)有界． 三、极限的性质