1.5函数逼近问题 设f(x)∈C[a,b]被逼近函数 为赋范线性空间(Cla6)的一个子集合 范数|,‖可以是或者|2等 称问题:求φ(x)∈Φ,使得 f p=minllf-opl 为函数f(x)在赋范集合Φ上的函数逼近问题 2004-10-18 11
2004-10-18 11 1.5 函数逼近问题 ¾ 设 f (x) ∈C [a,b] _____被逼近函数 ¾ Φ 为赋范线性空间( ) C[a,b], ⋅ 的一个子集合 9 范数 ⋅ 可以是 ∞ ⋅ 或者 2 ⋅ 等 ¾ 称问题: 求ϕ ( ) ∈Φ * x , 使得 − ϕ = − ϕ ϕ∈Φ f min f * . 为函数 f (x) 在赋范集合Φ 上的函数逼近问题
6逼近问题之一:最佳平方逼近 d为空间(C[ab]|·|)的有限维子空间 假设其维数为n+1 =0是该子空间上的一组线性无关基 d=span{0,012…,n 范数取为|·|2 最 佳多 求q(x)=c+c1q1+…+cn9n∈Φ,使得平元 方函 f-∑cn‖= milf Cip 逼数 C.∈R 近求 1/2 问极 =m川f(x)-∑c(x) 题值 C;∈ R 2004-10-18 i=0 12
2004-10-18 12 1.6 逼近问题之一：最佳平方逼近 ¾ Φ 为空间 ( ) C [a , b ], ⋅ 的 有 限 维 子 空 间 9 假设其维数为 n + 1 9 { }n i i =0 ϕ 是该子空间上的一组线性无关基 9 { } ϕ ϕ ϕ n span , , , Φ = 0 1 L . ¾ 范数取 为 2 ⋅ ¾ 求ϕ x = c ϕ + c ϕ + + c n ϕn ∈Φ * 1 * 0 1 *0 * ( ) L , 使得 2 0 2 * 0 min i i n c R i i i n i f c f c i ϕ ϕ = ∈ = − Σ = − Σ . 1/ 2 2 0 min ( ) ( ) = − ∫ ∑= ∈ f x c x dx ba ni i i ci R ϕ ︵ 多 元 函 数 求 极 值 ︶ 最 佳 平 方 逼 近 问 题
7逼近问题之二:最佳一致逼近 Φ同上,是C[a,b]的一个n+1维的子空间 范数取为 求φ(x)=co+cq1+…+Cnn∈Φ,使得 n f-2c minI C∈ =min max f(x )-∑cg(x c1∈Ra≤x≤b 最佳一致逼近问题(多元函数求极值) 2004-10-18 13
2004-10-18 13 1.7 逼近问题之二：最佳一致逼近 ¾ Φ 同上，是C[a,b] 的一个 n+1 维的子空间 ¾ 范数取 为 ∞ ⋅ ¾ 求ϕ x = c ϕ + c ϕ + + c n ϕn ∈Φ * 1 * 0 1 *0 * ( ) L , 使得 ∞ ∈ = ∞ = − Σ = − Σ i i n c R i i i n i f c f c i ϕ ϕ 0 * 0 min . ∑ = ∈ ≤ ≤ = − n i i i c R a x b f x c x i 0 min max ( ) ϕ ( ) 最佳一致逼近问题（多元函数求极值）
2内积空间 内积空间定义 V为实数域R上的线性空间 定义于V×V上的二元实值函数(…)(泛函) Vf,g,h∈V (对称性)(f,g)=(9,f) √(线性性)(r1f+r2h,g)=(f,g)+r2(h,g),Vr1,n2∈R (非负性)(f,f)≥0;当且仅当f=0时有(f,f)=0 则称实值函数(,)是线性空间V上的一种内积 并称线性空间V关于实值函数(,)是内积空间 Remark:若1为内积空间∨的子空间,则V1关于V的内积也是内积空间 2004-10-18
2004-10-18 14 2 内积空间 内积空间定义 ¾ V 为实数域 R 上的线性空间 ¾ 定义于V ×V 上的二元实值函数 (⋅,⋅) (泛函) 9 (对称性) (f ,g) = (g, f ) 9 (线性性 ) (r1 f +r2h, g) = r1 (f , g) +r2 (h, g), ∀ r1 ,r2 ∈R 9 (非负性) (f , f ) ≥ 0 ; 当且仅当 f = 0 时有 (f , f ) = 0 ∀ f , g , h ∈ V 则称实值函数 (⋅, ⋅) 是线性空间V 上的一种内积. 并称线性空间V 关于实值函数 (⋅, ⋅) 是内积空间. Remark：若V1为内积空间V的子空间，则V1关于V的内积也是内积空间
2.1连续函数空间的内积 对于实数域上的线性空间C[a2b],定义实值函数 f, g)= f(x)g(x)dx Vf, ge[a, b 它满足内积的三个条件 这样线性空间关于所规定的内积是一个内积空间 ☆线性空间C[a,b]上其它形式内积的定义 权函数定义于[ab上的实值函数p(x),如果满足 p(x)≥0,Vx ∈Ia b p(x)d x> a 39「x5p(x)dx(k=0,2,)存在 2004-10-18 则称p(x)为区间[a,b的一个权函数 15
2004-10-18 15 2.1 连续函数空间的内积 对于实数域上的线性空间C[a,b]，定义实值函数 ( f , g) f (x)g(x)dx f , g C[a,b] b a = ∀ ∈ ∫ ¾它满足内积的三个条件. ¾ 这样线性空间关于所规定的内积是一个内积空间. 线性空间C[a,b]上其它形式内积的定义 ¾权函数 定义于[a,b]上的实值函数ρ(x) , 如果满足 10 ρ(x) ≥ 0, ∀x ∈[a,b]; 20 ρ( ) > 0 ∫ ba x dx ; 30 ρ( ) ( = 0,1,2,L) ∫ x x dx k ba k 存在. 则称ρ(x) 为区间[a,b]的一个权函数