给线性空间C[a,b]赋带权的内积(∵) (f, 9)=f(x)g(x)p(x)dx ☆ Remark: >上下文中关于内积的理解无歧义时,可简记()为() 在理论证明和公式推导过程中,如没有明确权函数具 体形式,则表示对任意权函数均成立 在具体计算过程中,当没有确切指出权函数时,约定 权函数p(x)≡1 区间端点可以是无穷大,此时为广义积分 2004-10-18 16
2004-10-18 16 (续) ¾ 给线性 空 间 C [a ,b ] 赋 带 权 的 内 积 ρ ( ⋅, ⋅) ： ∫ ρ = ρ ba ( f , g ) f (x )g (x ) (x )dx ¾ 上下文中关于内积的理解无歧义时, 可简记 ρ (⋅,⋅) 为(⋅,⋅) Remark: ¾ 在理论证明和公式推导过程中, 如没有明确权函数具 体形式, 则表示对任意权函数均成立. ¾ 在具体计算过程中, 当没有确切指出权函数时, 约定 权函数ρ(x) ≡ 1 ¾ 区间端点可以是无穷大，此时为广义积分
2.2内积诱导范数 设∫和g是内积空间V中的任意元素,r是任意实数 f,∫)2有定义,且(f,f)2=0分f=0 非负性 (r,02=|r(,)2,vr∈R 齐次性 (f+g,f+g)2≤(,)2+(g,g)2 三角不等式 实值函数(f,f)2可看作内积空间上的范数, Schwarz 称之为内积诱导范数。 不等式 内积空间关于其诱导范数是赋范空间. 2004-10-18 17
2004-10-18 17 2.2 内积诱导范数 设 f 和 g 是内积 空 间 V 中 的 任意元 素 ， r 是 任 意 实 数 2 1 (f , f ) 有定义， 且( , ) 0 0 2 1 f f = ⇔ f = (rf ,rf ) = r ( f , f ) , ∀r ∈ R 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ( f + g, f + g) ≤ ( f , f ) + (g, g) 非负性 齐次性 三角不等式 9 实值函数 2 1 (f , f ) 可看作内积空间上的范数， 称之为内积诱导范数。 Schwarz 不等式 9 内积空间关于其诱导范数是赋范空间
(续)— Schwarz不等式的论证 (f+g,f+g)2≤(f,f)2+(g,g)2 (f+g,f+g)≤(f,)+(g,g)+2(f,)2(g,g)2→ (f,g)≤(f,f)(8gg)2 (f,g)2≤(f,)(g,g) Cauchy不等式 t∈R(f+g,f+g) =t2(g,g)+2(f,g)+(f,)≥0 二次函数判别式△=[2(,g)-4(g,g)(f,/)≤0 2004-10-18 18
2004-10-18 18 （续）——Schwarz不等式的论证 2 1 2 1 2 1 ( f + g, f + g) ≤ ( f , f ) + (g, g) 1/ 2 1/ 2 ( f + g, f + g) ≤ ( f , f ) + (g, g) + 2( f , f ) (g, g) 1/ 2 1/ 2 ( f , g) ≤ ( f , f ) (g, g) ( , ) ( , )( , ) 2 f g ≤ f f g g Cauchy不等式 ( , ) 2 ( , ) ( , ) 0 ( , ) 2 = + + ≥ ∀ ∈ + + t g g t f g f f t R f tg f tg [2( , )] 4( , )( , ) 0 2 二次函数判别式 ∆ = f g − g g f f ≤
emark:内积空间上的最佳平方逼近 求*∈= spant{,g,…,gn,st (f-9*,f-g*)=min(-0,-) 00∈ b min(-p)pdx ∈Φ 成立 2004-10-18 19
2004-10-18 19 Remark：内积空间上的最佳平方逼近 { } 成立。 求 ∫ = − − − = − − ∈Φ = ∈Φ ∈Φ b a n f dx f f f f span st ϕ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 2 0 1 ( ) ( *, *) ( , ) * , , , , . . min min L
23函数线性无关的判定定理 定理31设q9,…9n为内积空间中元素,则q,91,9n 线性无关的充分必要条件是Gram矩阵 Q1 (q0,q G 10)(q1, n (qn,)(0n,(1)…(n2q 奇异,即det(Gn)≠0 ,3…,n线性无关兮>0=c9+cg+…+Cnn惟 即当且仅当c Cn=0时,才有c090+cq+…+cnn=0 2004-10-18 20
2004-10-18 20 2.3 函数线性无关的判定定理 定理 3.1 设 ϕ ϕ ϕn , , , 0 1 L 为内积空间 Φ 中元素, 则 ϕ ϕ ϕn , , , 0 1 L 线性无关的充分必要条件是 Gram 矩阵 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 n n n nnn Gn L L L L L LL 非奇异, 即det(Gn ) ≠ 0 . ϕ0 ,ϕ1,L,ϕn 线性无关 ⇔ 0 = c0ϕ0 + c1ϕ1 +L+ cnϕn 惟一 0 0 即当且仅当 c0 = c1 = L = cn = 时，才有 c0ϕ 0＋c1ϕ1＋L＋cnϕ n =