1赋范线性空间与函数逼近问题 ■定义: 设V是实数域R上的线性空间。 >函数(泛函):F→R 1(非负性)g20,Vg∈V,当且仅当9=0时有g=0 2(齐次性)|7g|= rgr∈R,g∈V 3(三角不等式)∫+g‖s‖f+|gVfg∈V 则称实值函数·‖是线性空间V上的范数,并称线性空间v为赋 范线性空间,记为(V,).当关于范数的应用无歧义时,沿用线 性空间的符号V表示之 2004-10-18
2004-10-18 6 1 赋范线性空间与函数逼近问题 定义： 设V是实数域R上的线性空间。 ¾函数（泛函） ⋅ : V → R 10 (非负性) g ≥ 0, ∀g ∈V ; 当且仅当g = 0时有 g = 0 . 20 (齐次性) rg = r g , ∀r ∈ R,g ∈V . 30 (三角不等式) f + g ≤ f + g , ∀f ,g ∈V . 则称实值函数 ⋅ 是线性空间V 上的范数, 并称线性空间V 为赋 范线性空间 , 记为 (V , ⋅ ) . 当 关于 范数的应用无歧义时 , 沿 用 线 性空间的符号V 表示之
1.1n维向量空间举例 Remark:对子空间VcV,V上的范数也是V上的范数 例一V=RnVv={v v(∈ l,-v2 2 1/2 赋范线性空间(R 例二V=RVv={v1,v2…,n}∈ V‖=max 1≤i<n 赋范线性空间(R1) 2004-10-18 7
2004-10-18 7 1.1 n维向量空间举例 Remark : 对子空间V1 ⊂V , V 上的范数 ⋅ 也是 V1 上的范数. [ ]1/ 2 2 2 2 21 2 1 2 n v V R v { } V n n v v v v ,v , ,v = + + + = ∀ = ∈ ∆ L 例一 L { } i i n n v v ,v , ,v ≤ ≤ ∆ ∞ = = ∀ = ∈ 1 1 2 n v max 例二 V R v { L } V ( ) 2 , ⋅ n 赋范线性空间 R ( ) ∞ , ⋅ n 赋范线性空间 R
1.2连续函数空间 定义于[ab]上连续函数的集合C|a,b]是实 数域上的线性空间 定义实值函数:f|=maxf(x)l, VfE cla, b a≤x<b ‖f|e≥0,Vf∈C[ab,‖f|=0分f=0 验证三条条件 Irf=max rf(x)=/rmax(x)=r asx a≤x f∈C[a,b,r∈R ‖f+g| nax f(x)+g(x) asxsb < max f(x)+max g(x)=f+g 2004-10-18 vf,g∈C[a,b
2004-10-18 8 1.2 连续函数空间 定义于[a,b]上连续函数的集合C[a,b]是实 数域上的线性空间 ¾ 定义实值函数: f max f (x) ∞ a≤x≤b = , ∀f ∈C [a,b] = 0 ⇔ = 0 ∞ f ≥ 0, ∀f ∈C[a,b], f f 验 ∞ 证 三 条 条 件 ∞ ≤ ≤ ≤ ≤ ∞ r f = rf x = r f x = r f a x b a x b max ( ) max ( ) ∀f ∈C[a,b], ∀r ∈ R ≤ ≤ ≤ ≤ ∞ ∞ ∞ ≤ ≤ ≤ + = + + = + f x g x f g f g f x g x a x b a x b a x b max ( ) max ( ) max ( ) ( ) ∀f , g ∈C[a,b]
1.3距离 定义实值函数|/2=((),reCa l也满足范数公理三条 ◇两种常用的连续函数赋范线性空间 (Cla,bI a 赋范线性空间中距离的定义 V,g∈(V,)d(/,g)=|f-g Remark f|=f-0|=d(0) 2004-10-18
2004-10-18 9 1.3 距离 定义实值函数 ( ) , [ , ] 2 1 2 2 f f x dx f C a b b a ∀ ∈ = ∫ . ⋅ 2也满足范数公理三条 两种常用的连续函数赋范线性空间 ( [ , ], )2 ( [ , ], ) C a b ⋅ ∞ C a b ⋅ 赋范线性空间中距离的定义 ∀f , g ∈(V, ⋅ ) d( f , g) = f − g Remark : f = f − 0 = d( f ,0)
14举例 1/2 r u-y R d(u, v)=u-v=max u-v <i<n 3(C[ab1,|·) d(, g)=f-8=max f(x)-g(x) 40(Ca61·2 d(,g)=1f-g2=(((x)-g(x)dk 2004-10-18
2004-10-18 10 1.4 举例 ( ) 2 0 1 , ⋅ n R ( ) 1/ 2 1 2 2 ( , ) = − = ∑ − =ni i i d u v u v u v 3 ( [ , ], ) 0 ∞ C a b ⋅ d( f , g) f g max f (x) g(x) a x b = − = − ∞ ≤ ≤ ( ) ∞ 2 , ⋅ 0 n R i i i n d u v = u − v = u − v 1≤ ≤ 2 ( , ) max 4 ( [ , ], )2 0 C a b ⋅ 2 1 2 2 ( , ) ( ( ) ( )) = − = − ∫ ba d f g f g f x g x dx