首页 例2赌徒输光问题 赌徒甲有资本a元,赌徒乙有资本b元,两人进行 赌博,每赌一局输者给赢者1元,没有和局,直 赌至两人中有一人输光为止。设在每一局中,甲 获胜的概率为p,乙获胜的概率为q=1-p, 求甲输光的概率 分这个问题实质上是带有两个吸收壁的随机游动。从 析甲的角度看,他初始时刻处于a,每次移动一格,向 右移(即赢1元)的概率为,向左移(即输1元)的 概率为q。如果一旦到达0(即甲输光)或a+b(即 乙输光)这个游动就停止。这时的状态空间为{0,1, 2,…,c},c=a+b,。现在的问题是求质点从a出 发到达0状态先于到达C状态的概率
分 析 例2 赌徒输光问题 赌徒甲有资本a元，赌徒乙有资本b元，两人进行 赌博，每赌一局输者给赢者1元，没有和局，直 赌至两人中有一人输光为止。设在每一局中，甲 获胜的概率为p，乙获胜的概率为 ， 求甲输光的概率。 q =1− p 这个问题实质上是带有两个吸收壁的随机游动。从 甲的角度看，他初始时刻处于a，每次移动一格，向 右移（即赢1元）的概率为p，向左移（即输1元）的 概率为q。如果一旦到达0（即甲输光）或a + b（即 乙输光）这个游动就停止。这时的状态空间为{0，1， 2，…，c}，c = a + b，。现在的问题是求质点从a出 发到达0状态先于到达c状态的概率。 首页
解设0≤j≤c 设u1为质点从j出发到达0状态先于到达c状态的概率 考虑质点从诎出发移动一步后的情况 在以概率p移到j+1的假设下, 到达0状态先于到达c状态的概率为/+1 同理以概率q移到j-1的前提下 到达0状态先于到达c状态的概率为u 根据全概率公式有 1=l1+1p+l1-1q 这一方程实质上是一差分方程,它的边界条件是 0 首页
考虑质点从j出发移动一步后的情况 解 设0 j c 设u j 为质点从 j 出发到达 0 状态先于到达 c 状态的概率。 在以概率 p 移到 j +1的假设下， 到达 0 状态先于到达 c 状态的概率为u j+1 同理 以概率 q 移到 j −1的前提下， 到达 0 状态先于到达 c 状态的概率为 j−1 u 根据全概率公式有 u j = u j+1 p + u j−1 q 这一方程实质上是一差分方程，它的边界条件是 u0 =1,uc = 0 首页
就求a先求 于是(p+q)uy/=pl1+911 u J 设 L:- j+1 则可得到两个相邻差分间的递推关系 于是 d1=rd1=r2d2=…=rldo 雳论r 首页
于是 设 （p + q） j = j+1 + j−1 u pu qu ( )( ) j j 1 u j 1 u j p q u −u + = − − p q r = d j = u j − u j+1 则可得到两个相邻差分间的递推关系 j = j−1 d rd 于是 2 0 2 d rd 1 r d r d j j = j− = j− == 欲求 a u 先求 j u 需讨论 r 首页
当r≠1 1=l0-l2=∑(n1-) 0 0 O 而 +1 ∑rd =p(1+F+…+rC/-1 0 0 两式相比 C 首页
当 而 r 1 1= u0 −uc ( ) 1 1 0 + − = = j − j c j u u j c j d − = = 1 0 0 1 0 r d j c j − = = 0 1 1 d r r c − − = u j = u j − uc ( ) 1 1 + − = = i − i c i j u u 0 1 1 d r d i c i j i c i j − = − = = = 0 1 r (1 r r )d j c− j− = + ++ 0 1 d r r r j c − − = 两式相比 c j c j r r r u − − = 1 首页
-7 故 (y()((2) l0- 0 C 0 了1=(c-jdo C 因此 u 故 a b u C 首页
故 c a c a r r r u −− = 1 − = − a c c pq pq pq ( ) ( ) 1 ( ) 当 r = 1 0 1 0 u − u c = = cd 而 0 u j = ( c − j ) d 因此 c c j u j − = 故 cb c c a u a = − = 首页