Hermite矩阵的正定性 推论 Hermite正定矩阵的行列式大于零 由detA=2…2>0易知 定理 设A∈Cm,则 1.AA和AA的特征值全为非负实数; AA与AA的非零特征值相同 3. rank(A"A)=rank(AA")=rank A 证明 1.(A"A)=AA AA是 hermite矩阵,对任意0≠x∈C x(A"A)x=(Ax)"(Ax)=(Ax, Ax20 AA半正定一AA的特征值全为非负实数 同理取行向量0≠x∈Cn,可得 AA4x=(x4)4)y(x)4=(x4),(x/)≥0 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲6
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-6 Hermite矩阵的正定性 – 推论 Hermite正定矩阵的行列式大于零 由 易知 • 定理 设 ，则 1. 和 的特征值全为非负实数； 2. 与 的非零特征值相同； 3. 证明： 1. 是Hermite矩阵，对任意 半正定 的特征值全为非负实数 同理取行向量 ，可得 1 2 det 0 A = n ( ) ( ) ( ) , 0 H H H x A A x Ax Ax Ax Ax = = H A A m n A C H AA H A A H AA rank( ) rank( ) rank H H A A AA A = = 0 n ( ) x C H H H A A A A = H A A H A A(( ) ) ( ) ( ) ,( ) 0 H H H H H H H xAA x xA xA xA xA = = 0 n x C H A A
Hermite矩阵的正定性 设是AA的属于其非零特征值λ的特征向量,即 AAx=Ax,且x≠0y=Ax≠0 否则,AAx=Ax=0 x=0 AA y=AA" Ax=A(A Ax)=Anx=ny 同理可证AA的非零特征值也是AA的特征值(只要设y=A"x) 3.由Ax=0 A Ax=0 反之AAx=0 xAAx=(4x)(Ax)=(4,4x)=0 由内积的正定性一Ax=0 Ax=0与AAx=0同解,解空间的维数相同 n- rank a=n-rank(A4)n:A的列数 rank(A"A)=rank A 上式中以代替 A rank(A42)= rank A rank(A"A)=rank(AA")=rank A 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲7
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-7 Hermite矩阵的正定性 2. 设x是 的属于其非零特征值 的特征向量，即 ，且 否则， 同理可证 的非零特征值也是 的特征值（只要设 ） 3. 由 反之 由内积的正定性 与 同解，解空间的维数相同： 上式中以 代替 ( ) ( ) , 0 H H H x A Ax Ax Ax Ax Ax = = = H AA x 0 H A Ax x = y Ax = 0 H A A ( ) H H H AA y AA Ax A A Ax A x y = = = = 0 H A Ax x = = x = 0 H A A H y A x = Ax = 0 0 H A Ax = 0 H A Ax = Ax = 0 rank( ) rank( ) rank H H A A AA A = = 0 H Ax = 0 A Ax = rank rank( ) H n A n AA − = − rank( ) rank H A A A = n: A的列数 rank( ) rank H H AA A = H A A
Hermite矩阵的正定性 设A=(an)∈C"是 Hermite矩阵 detA(k=1,…,n) 分别称为A的k阶顺序主子阵和顺序主子式,则 A是 Hermite正定矩阵 k= det A>0(k=1,…,n) 证明 必要性 A是 Hermite矩阵-→A(k=1,…,n)都是 Hermite矩阵 令F=(e122…),其中 0 1,…,k 第个分量 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲8
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-8 Hermite矩阵的正定性 设 是Hermite矩阵 分别称为A的k阶顺序主子阵和顺序主子式，则 证明： • 必要性 A是Hermite矩阵 都是Hermite矩阵 令 ，其中 det ( 1, , ) = = k k A k n F e e e k k = ( 1 2 ) ( 0 1 0 1, , ) T i e i k = = ( ) n n A a C ij = 11 12 1 12 22 2 1 2 k k k k k kk a a a a a a A a a a = det 0 ( 1, , ) A是Hermite正定矩阵 = = k k A k n ( 1, , ) A k n k = 第i个分量
Hermite矩阵的正定性 对任意0≠x∈Cx FK Fx≠0 x"Akx=x" FK A Fkx=(Fx)"Ak(fkx)>o →→A(k=1,…,n)都是正定阵 Hermite正定矩阵的行列式大于零 △k=detA>0(k=1l,…,n) 充分性 设△k=detA>0(k=1,…,n),对阶数n用数学归纳法证明A是 Hermite正定矩阵。 当k=1时,a1=detA>0A是 Hermite正定矩阵 设k=n-1时,由△1=detA1>0A是 Hermite正定矩阵 当k=n时,记F为如下的下三角矩阵: 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲9
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-9 Hermite矩阵的正定性 对任意 都是正定阵 Hermite正定矩阵的行列式大于零 • 充分性 设 ，对阶数n用数学归纳法证明A是 Hermite正定矩阵。 当k = 1时， 是Hermite正定矩阵 设k = n – 1时，由 是Hermite正定矩阵 当k = n 时，记F为如下的下三角矩阵： 0 F xk H A F A F k k k k = 0 k x C ( ) ( ) 0 H H H H k k k k k k k x A x x F A F x F x A F x = = ( 1, , ) A k n k = det 0 ( 1, , ) = = k k A k n 1 1 det 0 = k k − − A 11 1 a A = det 0 A1 Ak−1 det 0 ( 1, , ) = = k k A k n
Hermite矩阵的正定性 F= 0 0 b FAF 0 B 0 b 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-10
兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-10 Hermite矩阵的正定性 21 11 1 11 1 / 1 / 1 n a a F a a − = − 11 22 22 11 22 22 0 0 0 0 H a b b a FAF B b b = = 0 0 12 11 1 11 1 / 1 / 1 n a a a a − − 11 12 1 12 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a a a a 12 11 1 11 1 / / 1 1 n − − a a a a