求极大似然估计的一般步骤是： ①由总体分布建立似然函数L(θ)=广f(x;0) 一一把自变量x看 成常数，把未知参数0=(0，凸，…，01)看成自变量； ②求似然函数L()的最大值点 一一转化为求nL()的最大值 点，即 1建立似然方程组： In L()=0 (i=1,2,…,l), a0: 2解似然方程组得到L(0)的最大值点； ③ 将样本X,X2,…X代入最大值点的表达式中，就得未知参数 的极大似然估计量，将样本值x1,x2,x代入最大值点的表达式 中，就得未知参数的极大似然估计值. 是实数时，似然方程组就是方程 dinL()=0. do 下面举例说明如何求极大似然估计
将样本值 x1, x2,„xn 代入最大值点的表达式 中, 就得未知参数的极大似然估计值 ˆ . ——把自变量x看 成常数, 把未知参数 =(1, 2,„, l)看成自变量; —— 转化为求ln L( )的最大值 点, ①由总体分布建立似然函数 L( ) ② 求似然函数 L()的最大值点 求极大似然估计的一般步骤是： ③ 将样本 X1,X2,„Xn 代入最大值点的表达式中, 就得未知参数 的极大似然估计量 ˆ , n i f xi 1 ( ; ) 即 1 0 建立似然方程组： 0 ( 1 2 ) , ln ( ) i , , ,l L i 2 0 解似然方程组得到 L( )的最大值点; 0 . ln ( ) d 是实数时, 似然方程组就是方程 d L 下面举例说明如何求极大似然估计
例1(P.147例5)设总体X~B(1,p),其分布列为 P(x;p)=px(1-p)1-x,x=0,1, 1,0,0,1,0,0是取自总体的一组样本值，求参数p的极大似然估计. 解样本的似然函数为：L(p)=P(x;p)=Ⅱp(1-p)-x i=1 i=1 对数似然函数为：lnL(p)=名xlnp+合(1-x)l血(I-p) 名x血p+(m-名x)n(1-p) = 对p求导并令其为0得似然方程：D-产-a-名 0=0 解之得p的极大似然估计量：方=名X,=灭， 代入样本值即得极大似然估计值为：=1+0+0+1+0+0)=号·
求参数 p 的极大似然估计. n i L p P xi p 1 解 样本的似然函数为: ( ) ( ; ) ln ( ) ln (1 )ln(1 ) 1 1 L p x p xi p n i n i i ( ; ) (1 ) , 0, 1, 1 P x p p p x x x 例1(P.147 例5) 设总体 X ~ B(1, p), 1, 0, 0, 1, 0, 0 是取自总体的一组样本值, 其分布列为 n i xi xi p p 1 1 (1 ) 对数似然函数为： ln ( )ln(1 ) 1 1 x p n x p n i i n i i 对 p 求导并令其为0 得似然方程： ( ) 1 ln ( ) 1 1 1 1 n i i n i i n x p x dp p d L p = 0 , , 1 ˆ 1 X X n p n i i 解之得 p 的极大似然估计量： 代入样本值即得极大似然估计值为： . 3 1 (1 0 0 1 0 0) 6 1 p ˆ
例2.165续)设总体X的密度为fx;)= 其它， 其中2>0为未知参数，X,X2,…,Xm是取自总体X的一组样本， 求2的极大似然估计量与矩估计量. 5,动-20-12 解(1)样本的似然函数为 0 其他. 当x>0时，L(2)>0,1≤i≤n, 故有对数似然函数：nL(a)=nln元-元公x, i=l 对乳求导并令其为0可得似然方程： nL(2=- d =0， 解得极大似然估计量：元=n会X=是 (2)EX=xfx;2)dx=1/2, 令克=名x,=X, 解得矩估计量：元=支
0 , . , 0, 1 2, , ; 1 其他 e xi i , n n i xi 解(1) 样本的似然函数为 n i xi L f 1 () ( ; ) , 1 n i n xi e EX xf x dx ( ; ) 当 xi>0 时, L()> 0, ( ) ln , ln 1 n i L n xi 1 i n， X1, X2, „, Xn 是取自总体X的一组样本, 0, , , 0 ( ; ) 其它 e x ； f x x 求的极大似然估计量与矩估计量. 其中> 0为未知参数, 例2(P.165 练9) 设总体X 的密度为 故有对数似然函数： n i xi n d d L 1 ln ( ) 对 求导并令其为0 可得似然方程： = 0, 解得极大似然估计量： n i n Xi 1 ˆ 令 , 1 1 1 X X n n i i (2) = 1/ , 解得矩估计量： . 1 ˆ X ; 1 X