23多1.7：理想气体的内能式中称为焦耳系数，它描述在内能不变的过程中温度随体积的变化率，焦avl耳的实验结果给出=0.由式（1.7.1）得av=0(1.7.2)av式（1.7.2）说明，气体的内能只是温度的函数，与体积无关.这个结果称为焦耳定律由于水的热容比气体的热容大得多，水温的变化不容易测出来，所以焦耳实验的结果不够可靠.1852年焦耳和汤姆孙二人用另外的方法（节流过程）发现实际气体的内能不仅是温度的函数面且还是体积的函数，关于节流过程我们将在第二章讲述不过焦耳定律在气体压强趋于零的极限情形下是正确的，在热力学中，焦耳定律是独立于玻意耳定律和阿氏定律的一个实验规律.在81.3中说过，我们把严格遵从这三个定律的气体称为理想气体，从微观的角度来看，气体的内能是气体中分子无规运动能量总和的统计平均值，在没有外场的情形下分子无规运动的能量包括分子的动能、分子之间相互作用的势能以及分子内部运动的能量，分子的动能和内部运动能量的统计平均值都与体积无关，分子间的相互作用能量与分子的平均距离有关，因而与写体积有关，对于理想气体，气体足够稀薄，分子间的平均距离足够大，相互作用能量可以忽略，内能就与体积无关，在统计物理学部分，我们将详细讨论这个问题，因此，对于理想气体，式（1.6.3）的偏导数可以写为导数.即C.=-(1.7.3)将上式积分，就可以求得理想气体内能函数的积分表达式：U=c,dT+U.(1.7.4)根据的定义（1.6.5）和理想气体的物态方程（1.3.7），可得理想气体的恰为H=U+pV=U+nRT(1.7.5)说明理想气体的熔也只是温度的函数，因此，对于理想气体，式（1.6.6）的偏导数也可写成导数，即C,=9(1.7.6)将上式积分就可以求得理想气体熔的积分表达式：H=C,dT+H(1.7.7)
24第一章热力学的基本规律由（1.7.3）、（1.7.6）和（1.7.5）三式可得C,-C,=nR(1.7.8)上式给出理想气体的定压热容与定容热容之差.引入表示定压热容与定容热容的比值：C.(1.7.9)y=Cv可以将C和C用R和表示出来：nRnRC=-(1.7.10)C,=-1y-1.一般来说，理想气体的定压热容和定容热容是温度的函数，因而也是温度的函数.如果在所讨论的问题中温度变化范围不大，可以把理想气体的热容和看成常量.这时式（1.7.4）和式（1.7.7）可以简化为U=C,T+U,(1.7. 11)H=C,T+H.(1.7.12)81.8理想气体的绝热过程附录作为热力学第一定律的应用，本节讨论理想气体在准静态绝热过程中的行为，热力学第一定律的数学表达式是dU=dW+dO在绝热过程中，气体与外界没有热量交换，dQ=0.在准静态过程中，外界对气体所作的功为dW=-pdV.对于理想气体，由焦耳定律知内能的全微分可以表为dU=C.dT.把这些表达式代人上式，即得C,dT+pdV=0(1.8.1)将理想气体的物态方程pV=nRT全式进行微分，得pdV+Vdp=nRd7利用式（1.7.10）可以把上式写成(1.8.2)pdV+Vdp=C,(-1)dT将式（1.8.1）与式（1.8.2）二式联立.消去C,dT.得Vdp+ypdV=0或=0(1.8.3)Vp
25多1.8理想气体的绝热过程附录式（1.8.3）给出理想气体在准静态绝热过程中体积的改变dV与压强的改变dp之间的关系，是理想气体准静态绝热过程的微分方程在一般问题中，理想气体的温度在过程中变化不大，可以把看作常数，这时可将式（1.8.3）积分，得pV=常量(1.8.4)式（1.8.4）说明，理想气体在准静态绝热过程中所经历的各个状态，其压强与体积的次方的乘积是恒定不变的.常量的数值可以由例如气体在初态的压强和体积确定将式（1.8.4）在P-V图上画出，可以得到b绝热线C.>1，故一条曲线，称为理想气体的绝热线.由于=C与等温线相比，绝热线的斜率更大些，如图1.12、等温线所示，将式（1.8.4）与理想气体的物态方程联立，可以V求得在准静态绝热过程中理想气体的体积与温度及图1.12压强与温度的关系：TV-I=常量(1.8.5)p!(1.8.6)=常量TY某一气体的值可以通过测量在该气体中的声速确定.声速的公式（牛顿的公式）是dp(1.8.7):Ndp其中P是压强，P是气体的密度.声波是纵波，声波在气体中传播时，气体以声波频率作周期性的压缩与膨胀，压强也相应改变，由于压缩与膨胀过程振幅很小、变化迅速，气体的导热系数很小，热量来不及传递，可以将过程近似地看作准静态绝热过程.这是拉普拉斯（Laplace）首先指出的.考虑到这一点，式（1.8.7）中的毕应为绝热条件下的偏导数，记为(，因此得dpa-()=()(1.8.8)Laulao其中=六是介质的比体积（单位质量的体积).由式(1.8.3)得pp=-aw因此
26第一章热力学的基本规律a'=ypu=(1.8.9)P这就是由声速确定的公式例如，0℃下空气的声速为331m/s，空气的摩尔质量M=28.96g：mol-由式（1.8.9）得28.96g:molY=a'M=(331 m/s)2=1.40RT8.31J.K-.mol-l.273K【附录】在附录中，我们对流体声速公式作简单的推导以e（T.）和rt)表示在时刻、坐标r处流体介质的密度和速度.它们的变化遵从连续方程：+(u)=0(1.8. 10)at和牛顿（Newton）第二定律：ddd(00)=(1.8.11)(pv)+(0V)(pu)=-Vpap(r,)是在时刻、坐标r处流体的压强流体中没有声波传播时，流体的密度是空间均匀且不随时间变化的，即β=P（常量）：流体的速度也为零，u=0.当有声波传播时.流体发生疏密变化.p可表示为p(r.t)=p+8p(r1)：速度可表为r1).其中8p（r，)和w(r.1)都是小量：将方程（1.8.10）和（1.8.11)线性化，即将p(r，t）和r，)代人上述两式：只保留含和v的一阶而略去高阶的量，即有aop+paV.w=0(1.8.12)ar和au-Vp=pop(1.8.13)Poatdp式中我们将p看作p的函数，将式（1.8.12）对1求偏导数，得aav.u(1.8.14)op=-Poarat将式（1.8.13）求梯度，得dpspPou(1.8.15)Poatdo两式联立，得a'Vo000doar上式说明，介质密度的疏密变化以波动方式在空间传播，满足波动方程：1aiop-80=0(1.8.16)aar
27多1.9理想气体的卡诺循环dp，这就是牛领的公式（1.8.7)，波速a=Ndp上述推导将P看作单一自变量p的函数，从热力学观点看，描述流体状态应有两个状态参量，如前所述，声波传播时介质的疏密变化可以近似看作准静态绝热过程，选P，S为自变量，压强p=p（p.S），其中S是在准静态绝热过程中不变的量，名为摘（参阅1.16）.波速a应等于81.9理想气体的卡诺循环本节根据热力学第一定律和理想气体的性质，讨论以理想气体为工作物质的卡诺（Carnot）循环中的热功转化效率问题，卡诺循环过程由两个等温过程和两个绝热过程组成，我们首先讨论理想气体在准静态等温过程和绝热过程中的能量转化情况设有1mol的理想气体，进行准静态的等温过程，为了保证气体在过程中温度不变，可以令气体在过程中与一个热源保持热接触，热源是热容非常的物体，在吸收或放出有限的热量时，其温度可以认为不会发生变化，在等温过程中，理想气体的压强与体积的乘积是一个常量：pV=RT当气体在这过程中体积由V，变到V时，外界所作的功是：V" V -RTIn"pdV=-RTW=-(1.9.1)J..VV根据焦耳定律，在等温过程中理想气体的内能不变，AU=0.由热力学第一定律可知，气体在过程中从热源吸收的热量Q为VeQ=-W=RTIn(1.9.2)VA（1.9.1）和（1.9.2）二式表明，在等温膨胀过程中理想气体从热源吸收热量，这热量全部转化为气体对外所作的功：在等温压缩过程中，外界对气体作功，这功通过气体转化为热量传递给热源根据式（1.8.4），在准静态绝热过程中理想气体的压强和体积满足以下关系：pV=C（常量）当理想气体在该过程中体积由V、变到V.时，外界所作的功是：---)