正、余弦定理在实际中的应用 A组基础巩固 1.如图,在一幢20m高的楼顶测得对面一塔顶部的仰角为60°,塔基的俯角为45° 则这座塔的高度是( B.20(1+3)m C.10(√6+√2)m 解析:C 如图,过点A作AE⊥CD交CD于点E 由已知可得∠DAE=60°,∠EAC=45°,AB=20,AB=C=20,DE=203 ∴CD=20√3+ 20=20(3+1) 答案:B 2.海上有A,B两个小岛相距10 n mile,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛 望C岛和A岛成75°的视角,则B,C之间的距离为( A. 10\3 n mile B C. 5v2 n mile D. 5 6 n mile 解析:在△ABC中,A=60°,B=75°,∴C=45 10 =Bn∴BC= 2=5 sinc
正、余弦定理在实际中的应用 A 组 基础巩固 1．如图，在一幢 20 m 高的楼顶测得对面一塔顶部的仰角为 60°，塔基的俯角为 45°， 则这座塔的高度是( ) A．20 1＋ 3 3 m B．20(1＋ 3) m C．10( 6＋ 2) m D．20( 6＋ 2) m 解析： 如图，过点 A 作 AE⊥CD 交 CD 于点 E. 由已知可得∠DAE＝60°，∠EAC＝45°，AB＝20，AE＝CE＝20，DE＝20 3.∴CD＝20 3＋ 20＝20( 3＋1)． 答案：B 2．海上有 A，B 两个小岛相距 10 n mile，从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60°的视角，从 B 岛 望 C 岛和 A 岛成 75°的视角，则 B，C 之间的距离为( ) A．10 3 n mile B. 10 6 3 n mile C．5 2 n mile D．5 6 n mile 解析：在△ABC 中，A＝60°，B＝75°，∴C＝45°. ∵ AB sinC ＝ BC sinA ，∴BC＝ AB·sinA sinC ＝ 10× 3 2 2 2 ＝5 6
答案 3.如图,要测量湖中一灯塔的高CD(水上部分),可在岸边一建筑物AB上进行有关的测 量.已知AB=20米,且测出∠CAD=,∠ACB=一,则灯塔CD的高度为() A.20(3-√3)米B.20(√6-V2)米 10√米D.20(+√2)米 解析:在Rt△ABC中,北、4 sin∠ACB 2( AC 在△ACD中,由正弦定理可知 sin∠ CAD sin∠ADC AC·sin∠CAD 从而CD= sin∠ADC Ⅱ5丌 又∠ADC=r-∠CA-∠ACD= sin∠ADsi.5s514 20 √2 所以CD= y6+=206- )(米) 答案:A 4.如图,为了测量某湖泊的两侧A,B的距离,给出下列数据,其中不能唯一确定A,B 两点间的距离的是() A.角A、B和边b B.角A、B和边a C.边a、b和角C D.边a、b和角A 解析:根据正弦定理和余弦定理可知,当知道两边和其中一边的对角解三角形时,得出 的答案是不唯一的,所以选
答案：D 3．如图，要测量湖中一灯塔的高 CD(水上部分)，可在岸边一建筑物 AB 上进行有关的测 量．已知 AB＝20 米，且测出∠CAD＝ π 3 ，∠ACB＝ π 4 ，则灯塔 CD 的高度为( ) A．20(3－ 3)米 B．20( 6－ 2)米 C．10 2米 D．20( 3＋ 2)米 解析：在 Rt△ABC 中，AC＝ AB sin∠ACB ＝20 2(米)． 在△ACD 中，由正弦定理可知 CD sin∠CAD ＝ AC sin∠ADC ， 从而 CD＝ AC·sin∠CAD sin∠ADC . 又∠ADC＝π－∠CAD－∠ACD＝π－ π 3 － π 4 ＝ 5π 12 ， sin∠ADC＝sin 5π 12 ＝sin π 4 ＋ π 6 ＝ 6＋ 2 4 ， 所以 CD＝ 20 2× 3 2 6＋ 2 4 ＝20(3－ 3)(米)． 答案：A 4．如图，为了测量某湖泊的两侧 A，B 的距离，给出下列数据，其中不能唯一确定 A，B 两点间的距离的是( ) A．角 A、B 和边 b B．角 A、B 和边 a C．边 a、b 和角 C D．边 a、b 和角 A 解析：根据正弦定理和余弦定理可知，当知道两边和其中一边的对角解三角形时，得出 的答案是不唯一的，所以选 D
答案 5.如右图,从气球A测得济南全运会东荷、西柳两个场馆B,C的俯角分别为a,B, 此时气球的高度为h,则两个场馆B,C间的距离为( hsin asin B hsin B-a B sin asin B hsin sin Bsin a-B sin asin a-B 解析:在Rt△ADC中,AC=b,在△AC中,由正弦定理,得BC=4 ACtin B= sin sin asin 答案:B 6.一艘轮船从A出发,沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B,然后从B出发 沿北偏东35°的方向航行了40海里到达海岛C如果下次航行直接从A出发到G,此船航行 的方向和路程(海里)分别为() A.北偏东80°,20(√6+V) B.北偏东65°,20(5+V) C.北偏东65°,20(V6+) D.北偏东80°,20(3+V) 解析:由题可知∠ABC=1065°,在△ABC中,AB=40,BC=40、V2 所以AC=4B+BC-2B·BC,Cos∠ABC=402+(402)2-2×40×40V2 cos(60°+45°)=3200+1600y3, 所以AC=20(6+VE BC AC· sinBO sin∠ BAc sinABC →sin∠BAC= 2,所以∠BAC=45°,所以下次航行直接 从A出发到C,航向为北偏东65°,故选C. 答案:C 7.如图,为测量山高M,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的 仰角∠MA=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°:从C点测得∠MC=60°.已知 山高BC=100m,则山高M
答案：D 5．如右图，从气球 A 测得济南全运会东荷、西柳两个场馆 B，C 的俯角分别为 α，β， 此时气球的高度为 h，则两个场馆 B，C 间的距离为( ) A. hsinαsinβ sin α－β B. hsin β－α sinαsinβ C. hsinα sinβsin α－β D. hsinβ sinαsin α－β 解析：在 Rt△ADC 中，AC＝ h sinβ ，在△ABC 中，由正弦定理，得 BC＝ ACsin β－α sinα ＝ hsin β－α sinαsinβ . 答案：B 6．一艘轮船从 A 出发，沿南偏东 70°的方向航行 40 海里后到达海岛 B，然后从 B 出发， 沿北偏东 35°的方向航行了 40 2海里到达海岛 C.如果下次航行直接从 A 出发到 C，此船航行 的方向和路程(海里)分别为( ) A．北偏东 80°，20( 6＋ 2) B．北偏东 65°，20( 3＋ 2) C．北偏东 65°，20( 6＋ 2) D．北偏东 80°，20( 3＋ 2) 解析：由题可知∠ABC＝105°，在△ABC 中，AB＝40，BC＝40 2， 所 以 AC 2 ＝ AB 2 ＋ BC 2 － 2AB·BC·cos ∠ ABC ＝ 402 ＋ (40 2) 2 － 2×40×40 2 cos(60°＋45°)＝3 200＋1 600 3， 所以 AC＝20( 6＋ 2). BC sin∠BAC ＝ AC sinABC ⇒sin∠BAC＝ AC·sinABC BC ＝ 2 2 ，所以∠BAC＝45°，所以下次航行直接 从 A 出发到 C，航向为北偏东 65°，故选 C. 答案：C 7．如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点．从 A 点测得 M 点的 仰角∠MAN＝60°，C 点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从 C 点测得∠MCA＝60°.已知 山高 BC＝100 m，则山高 MN＝________ m
解析:利用三角函数的定义及正弦定理求解 根据图示,AC=1002m 在△MAC中,∠CM=180°-75°-60°=45° 由正弦定理得一4C,=4。→A=1005m 在△AM中,=sin60 ∴M=100√3× 2-150(m) 答案:150 8.某海岛周围38海里有暗礁,一轮船由西向东航行,初测此岛在北偏东60°方向,航 行30海里后,测得此岛在东北方向,若不改变航向,则此船触礁的危险.(填“有” 或“没有”) 解析:如图,在△ABC中,AB=30,∠BAC=30°,∠ABC=135°,∴∠ACB=15° 东 由正弦定理,得BC= sin∠ ACB sin∠BC/1nl°51n30。=15(V6+ 过点C作CD垂直AB,交AB的延长线于点D 在Rt△BDC中,CD= 15(3+1)>38 所以没有触礁的危险 答案:没有 A50B120C 110 9.如图,为了解某海域海底构造,对海平面内一条直线上的A,B,C三点进行测量.已 知AB=50m,BC=120m,于A处测得水深AD=80m,于B处测得水深BE=200m,于C处测
解析：利用三角函数的定义及正弦定理求解． 根据图示，AC＝100 2 m. 在△MAC 中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理得 AC sin45°＝ AM sin60°⇒AM＝100 3 m. 在△AMN 中，MN AM ＝sin60°， ∴MN＝100 3× 3 2 ＝150(m)． 答案：150 8．某海岛周围 38 海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东 60°方向，航 行 30 海里后，测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁的危险．(填“有” 或“没有”) 解析：如图，在△ABC 中，AB＝30，∠BAC＝30°，∠ABC＝135°，∴∠ACB＝15°. 由正弦定理，得 BC＝ AB sin∠ACB ·sin∠BAC＝ 30 sin15°·sin30°＝ 15 6－ 2 4 ＝15( 6＋ 2)． 过点 C 作 CD 垂直 AB，交 AB 的延长线于点 D. 在 Rt△BDC 中，CD＝ 2 2 BC＝15( 3＋1)>38. 所以没有触礁的危险． 答案：没有 9．如图，为了解某海域海底构造，对海平面内一条直线上的 A，B，C 三点进行测量．已 知 AB＝50 m，BC＝120 m，于 A 处测得水深 AD＝80 m，于 B 处测得水深 BE＝200 m，于 C 处测
得水深CF=110m,求∠DEF的余弦值 解:作DM∥AC交BE于点M,交CF于点M,作FH∥AC交BE于点B 由题中所给数据,得 +DMF=√302+170=10√298 DE=YDm+E=√502+120=130, EF=√EH+H=90+120=150 在△DEF中,由余弦定理,得c0s∠DF=2×DBXB DE2+EF-DF21302+1502-103×29816 2×130×15 10.一只船以20海里/时的速度向正东航行,它在A点时测得灯塔P在船的北偏东60 方向,2小时后船到达B点时测得灯塔P在船的北偏东45°方向,求: (1)船在B点时与灯塔P的距离: (2)已知以尸点为圆心,55海里为半径的圆形水域内有暗礁,那么此船继续向正东航行, 有无触礁的危险? 解 如图,在△ABP中,依题意,知AB=20×2=40,∠PAB=30°,∠ABP=135°,所以∠ APB=15°.由正弦定理得 in30°sin15° ,解得BP=20(√6+V2) (2)过P点作PD⊥AB,D为垂足,在Rt△BD中,P=y2BP=20+20<5 故船在B点时与灯塔相距20(√6+√2)海里,继续航行有触礁的危险 B组能力提升 11.一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15°方向上,与灯塔S相距20 n mile 随后货轮按北偏西30°的方向航行3h后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为 n mile/h n mile/h c.06+ n mile/h 0.06- n mile/h 解析:如图,在△MS中,MS=20,∠MS=45°,∠SW=105°,∠MSM=30
得水深 CF＝110 m，求∠DEF 的余弦值． 解：作 DM∥AC 交 BE 于点 N，交 CF 于点 M，作 FH∥AC 交 BE 于点 H. 由题中所给数据，得 DF＝ MF 2＋DM 2＝ 302＋1702＝10 298， DE＝ DN 2＋EN 2＝ 502＋1202＝130， EF＝ EH 2＋FH 2＝ 902＋1202＝150. 在△DEF 中，由余弦定理，得 cos∠DEF＝ DE 2＋EF 2－DF 2 2×DE×EF ＝ 1302＋1502－102×298 2×130×150 ＝ 16 65. 10．一只船以 20 海里/时的速度向正东航行，它在 A 点时测得灯塔 P 在船的北偏东 60° 方向，2 小时后船到达 B 点时测得灯塔 P 在船的北偏东 45°方向，求： (1)船在 B 点时与灯塔 P 的距离； (2)已知以 P 点为圆心，55 海里为半径的圆形水域内有暗礁，那么此船继续向正东航行， 有无触礁的危险？ 解： 如图，在△ABP 中，依题意，知 AB＝20×2＝40，∠PAB＝30°，∠ABP＝135°，所以∠ APB＝15°.由正弦定理得 BP sin30°＝ AB sin15°，解得 BP＝20( 6＋ 2)． (2)过 P 点作 PD⊥AB，D 为垂足，在 Rt△BPD 中，PD＝ 2 2 BP＝20 3＋20<55. 故船在 B 点时与灯塔相距 20( 6＋ 2)海里，继续航行有触礁的危险． B 组 能力提升 11．一货轮航行到 M 处，测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15°方向上，与灯塔 S 相距 20 n mile， 随后货轮按北偏西 30°的方向航行 3 h 后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为 ( ) A. 10 6＋ 2 3 n mile/h B. 10 6－ 2 3 n mile/h C. 10 6＋ 3 3 n mile/h D. 10 6－ 3 3 n mile/h 解析：如图，在△MNS 中，MS＝20，∠NMS＝45°，∠SNM＝105°，∠MSN＝30°