第一章1.2第1课时距离问题 课时作业学案≥ EaSHIaZUOmYE-XUE- A级基础巩固 选择题 1.已知A、B两地的距离为10km,B、C两地的距离为20km,现测得∠ABC=120 则A、C两地的距离为(D) V5 [解析]在△ABC中,AB=10,BC=20,∠ABC=120°,则由余弦定理,得 AC=ABF+BC2-2AB·BCos∠ABC=100+400-2×10×20cos120° 100+400-2×10×20×(-)=700, AC=10√7,即A、C两地的距离为107km 2.如图,在河岸AC测量河的宽度BC,测量下列四组数据,较适宜的是(D) A. y,c, B. b, D. b y [解析]本题中a、C、β这三个量不易直接测量,故选D 3.一船向正北航行,看见正西方向有相距10 n mlie的两个灯塔恰好与它在一条直线 上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°方向上,另一灯塔在船的南偏西75° 方向上,则这艘船的速度是每小时(C) B D.10 [解析]如图,依题意有∠BAC=60°,∠BA=75°, ∴∠CAD=∠CDA=15°,从而CD=CA=10, 在Rt△ABC中,求得AB=5
1 第一章 1.2 第 1 课时 距离问题 A 级 基础巩固 一、选择题 1.已知 A、B 两地的距离为 10 km,B、C 两地的距离为 20 km,现测得∠ABC=120°, 则 A、C 两地的距离为( D ) A.10 km B. 3 km C.10 5 km D.10 7 km [解析] 在△ABC 中,AB=10,BC=20,∠ABC=120°,则由余弦定理,得 AC 2=AB 2+BC 2-2AB·BCcos∠ABC=100+400-2×10×20cos120° =100+400-2×10×20×(- 1 2 )=700, ∴AC=10 7,即 A、C 两地的距离为 10 7 km. 2.如图,在河岸 AC 测量河的宽度 BC,测量下列四组数据,较适宜的是( D ) A.γ,c,α B.b,c,α C.c,α,β D.b,α,γ [解析] 本题中 a、c、β 这三个量不易直接测量,故选 D. 3.一船向正北航行,看见正西方向有相距 10 n mlie 的两个灯塔恰好与它在一条直线 上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西 60°方向上,另一灯塔在船的南偏西 75° 方向上,则这艘船的速度是每小时( C ) A.5 n mlie B.5 3 n mlie C.10 n mlie D.10 3 n mlie [解析] 如图,依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°, ∴∠CAD=∠CDA=15°,从而 CD=CA=10, 在 Rt△ABC 中,求得 AB=5
这艘船的速度是a=10 n mlie/h) 4.某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300m和500m,测得灯塔A在观察站C北 偏东30°,灯塔B在观察站C正西方向,则两灯塔A、B间的距离为(C) A.500m B.600m D.800m [解析]根据题意画出图形如图 在△ABC中,BC=500,AC=300,∠ACB=120°, 由余弦定理得,AB=AC+BC2-2AC·Bos120 3002+5002-2×300×500×( =490000,∴AB=700(m) 5.要直接测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行),由于受地理条件和测量工具的 限制,可采用如下办法:如图所示,在河的一岸边选取A、B两点,观察对岸的点C,测得 ∠CAB=45°,∠CBA=75°,且AB=120m由此可得河宽为(精确到1m)(C A.170 B.98 m [解析]在△ABC中,AB=120,∠CAB=45°,∠CBA=75°,则∠ACB=60°,由正弦 120sin45° 定理,得BC= 40 设△ABC中,AB边上的高为h,则h即为河宽, ∴h=BC·sin∠CBA=406×sin75°≈95(m) 甲船在湖中B岛的正南A处,AB=3km,甲船以8km/h的速度向正北方向航行,同 时乙船从B岛出发,以12km/h的速度向北偏东60°方向驶去,则行驶15min时,两船的 距离是(B) B.√13k 2
2 ∴这艘船的速度是 5 0.5=10(n mlie/h). 4.某观察站 C 与两灯塔 A、B 的距离分别为 300 m 和 500 m,测得灯塔 A 在观察站 C 北 偏东 30°,灯塔 B 在观察站 C 正西方向,则两灯塔 A、B 间的距离为( C ) A.500 m B.600 m C.700 m D.800 m [解析] 根据题意画出图形如图. 在△ABC 中,BC=500,AC=300,∠ACB=120°, 由余弦定理得,AB 2=AC 2+BC 2-2AC·BCcos120° =3002+5002-2×300×500×(- 1 2 ) =490 000,∴AB=700(m). 5.要直接测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行),由于受地理条件和测量工具的 限制,可采用如下办法:如图所示,在河的一岸边选取 A、B 两点,观察对岸的点 C,测得 ∠CAB=45°,∠CBA=75°,且 AB=120 m 由此可得河宽为(精确到 1m)( C ) A.170 m B.98 m C.95 m D.86 m [解析] 在△ABC 中,AB=120,∠CAB=45°,∠CBA=75°,则∠ACB=60°,由正弦 定理,得 BC= 120sin45° sin60° =40 6. 设△ABC 中,AB 边上的高为 h,则 h 即为河宽, ∴h=BC·sin∠CBA=40 6×sin75°≈95(m). 6.甲船在湖中 B 岛的正南 A 处,AB=3 km,甲船以 8 km/h 的速度向正北方向航行,同 时乙船从 B 岛出发,以 12 km/h 的速度向北偏东 60°方向驶去,则行驶 15 min 时,两船的 距离是( B ) A. 7 km B. 13 km C. 19 km D. 10-3 3 km
[解析]由题意知AM=8× B=12×=3,MB=AB-AM=3-2=1,所以由余 弦定理,得M=MF+BF-2B·Bos120°=1+9-2×1×3×(-)=13,所以M=V13 填空题 7.在相距2km的A,B两点处测量目标点C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则A,C 两点之间的距离是√6km [解析]如图所示,由题意易知C=45°, A2∞ 由正弦定理得 sin45°从而A=2.3 8.一只蜘蛛沿东北方向爬行xcm捕捉到一只小虫,然后向右转105°,爬行10cm捕 提到另一只小虫,这时它向右转135爬行回它的出发点,则x=1 [解析]如图 A105 由题意知,∠BAC=75°,∠ACB=45°.∠B=60°, 由正弦定理,得 in∠ AcB si
3 [解析] 由题意知 AM=8× 15 60=2,BN=12× 15 60=3,MB=AB-AM=3-2=1,所以由余 弦定理,得 MN 2=MB 2+BN 2-2MB·BNcos120°=1+9-2×1×3×(- 1 2 )=13,所以 MN= 13 km. 二、填空题 7.在相距 2km 的 A,B 两点处测量目标点 C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则 A,C 两点之间的距离是__ 6__km. [解析] 如图所示,由题意易知 C=45°, 由正弦定理得 AC sin60°= 2 sin45°,从而 AC= 2 2 2 · 3 2 = 6(km). 8.一只蜘蛛沿东北方向爬行 x cm 捕捉到一只小虫,然后向右转 105°,爬行 10 cm 捕 捉到另一只小虫,这时它向右转 135°爬行回它的出发点,则 x=__ 10 6 3 __cm. [解析] 如图, 由题意知,∠BAC=75°,∠ACB=45°.∠B=60°, 由正弦定理,得 x sin∠ACB = 10 sinB
10sin∠ACB10×sin45 sinB sin60° 三、解答题 9.如图,我炮兵阵地位于地面A处,两观察所分别位于地面点C和D处,已知CD=6000 m.∠ACD=45°,∠ADC=75°,目标出现于地面B处时测得∠BCD=30°,∠BDC=15° 求炮兵阵地到目标的距离.(结果保留根号) C 45°:6000 [解析]在△ACD中,∠CAD=60° CD·sin45°V6 在△BD中,∠CMD=15,BD=C,sio=2a ∠ADB=90° 在R△D中,A=m+=y2m =10y42(m) 10.一艘船以32.2 n mile/h的速度向正北航行.在A处看灯塔S在船的北偏东20 的方向,30min后航行到B处,在B处看灯塔在船的北偏东65°的方向,已知距离此灯塔 6.5 n mile以外的海区为航行安全区域,这艘船可以继续沿正北方向航行吗? 西十东 [解析]在△ASB中,∠SBA=115°,∠S=45°.由正弦定理,得SB AB5in20° 6.1sin20° ≈7.787( n mile).设点S到直线AB的距离为b,则h= Sein65°≈7.06( le) ∵砂6.5 n mile,∴此船可以继续沿正北方向航行 B级素养提升 选择题 1.已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2km,船B在灯塔C西偏北25°且
4 ∴x= 10sin∠ACB sinB = 10×sin45° sin60° = 10 6 3 . 三、解答题 9.如图,我炮兵阵地位于地面 A 处,两观察所分别位于地面点 C 和 D 处,已知 CD=6 000 m.∠ACD=45°,∠ADC=75°,目标出现于地面 B 处时测得∠BCD=30°,∠BDC=15°. 求炮兵阵地到目标的距离.(结果保留根号) [解析] 在△ACD 中,∠CAD=60°, AD= CD·sin45° sin60° = 6 3 CD. 在△BCD 中,∠CBD=135°,BD= CD·sin30° sin135° = 2 2 CD, ∠ADB=90°. 在 Rt△ABD 中,AB= AD 2+BD 2= 42 6 CD =1 000 42(m). 10.一艘船以 32.2 n mile/h 的速度向正北航行.在 A 处看灯塔 S 在船的北偏东 20° 的方向,30 min 后航行到 B 处,在 B 处看灯塔在船的北偏东 65°的方向,已知距离此灯塔 6.5 n mile 以外的海区为航行安全区域,这艘船可以继续沿正北方向航行吗? [解析] 在△ASB 中,∠SBA=115°,∠S=45°.由正弦定理,得 SB= ABsin20° sin45° = 16.1sin20° sin45° ≈7.787(n mile).设点 S 到直线 AB 的距离为 h,则 h=SBsin65°≈7.06(n mile). ∵h>6.5 n mile,∴此船可以继续沿正北方向航行. B 级 素养提升 一、选择题 1.已知船 A 在灯塔 C 北偏东 85°且到 C 的距离为 2 km,船 B 在灯塔 C 西偏北 25°且
到C的距离为km,则A、B两船的距离为(D) B.32 D. V13 ki [解析]如图可知∠ACB=85°+(90°-25°)=150°, Ac=2, BC= ∴AB=AC2+BC-2AC·BC·cos150°=13 ∴AB=V13 2.一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile 的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的M处,则这只船的航行速度为(A) 6 2 n mile/h n mile/h 12 [解析]如图所示,在△PM中,y sin45°sin120° √3 n=-2=NV6 (n mile/h) 3.如图,货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线 的水平角)为140°的方向航行.为了确定船的位置,船在B点观测灯塔A的方位角为110°, 航行h到达C点,观测灯塔A的方位角是65°,则货轮到达C点时,与灯塔A的距离是 0°
5 到 C 的距离为 3 km,则 A、B 两船的距离为( D ) A.2 3 km B.3 2 km C. 15 km D. 13 km [解析] 如图可知∠ACB=85°+(90°-25°)=150°, AC=2,BC= 3, ∴AB 2=AC 2+BC 2-2AC·BC·cos150°=13, ∴AB= 13. 2.一船自西向东匀速航行,上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75°距塔 68 n mile 的 M 处,下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处,则这只船的航行速度为( A ) A. 17 6 2 n mile/h B.34 6 n mile/h C. 17 2 2 n mile/h D.34 2 n mile/h [解析] 如图所示,在△PMN 中, PM sin45°= MN sin120°, ∴MN= 68× 3 2 2 2 =34 6,∴v= MN 4 = 17 6 2 (n mile/h). 3.如图,货轮在海上以 40 km/h 的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线 的水平角)为 140°的方向航行.为了确定船的位置,船在 B 点观测灯塔 A 的方位角为 110°, 航行1 2 h 到达 C 点,观测灯塔 A 的方位角是 65°,则货轮到达 C 点时,与灯塔 A 的距离是 ( B )