∴coS∠BAD= BD=AB+AD-2AB· ADcos∠BAD (3V2+32-2×32×3× 即BD=3,BD=3 高频考点三和三角形面积有关的问题 【例3】(2016·全国I卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acos B+bcos A)=c (1)求G (2)若c=VF,△ABC的面积为3,求△ABC的周长 解(1)由已知及正弦定理得,2cosC( sin Acos b+sinB·cosA=sinC,2 cos Csin(A+ B=sin C 故2 sin ccos c=sinC 由C∈(0,)知sinC≠0, 可得cosC=,所以C (2)由已知,2nc=3 又C=,所以ab=6, 由已知及余弦定理得,a+b-2 abcs c=7,故a+b2=13, 从而(a+b2=25.,所以△ABC的周长为5+V7 【方法规律】三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式S= absin C= actin B=÷ bcsin a,一般是已知哪一个角就使用哪一个公 (2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化 【变式探究】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足(2a-b)cosC-cosB= (1)求角C的值 (2)若三边a,b,c满足a+b=13,c=7,求△ABC的面积
- 6 - ∴cos∠BAD＝ 2 2 3 . BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB·ADcos∠BAD ＝(3 2) 2＋3 2－2×3 2×3× 2 2 3 ， 即 BD 2＝3，BD＝ 3. 高频考点三 和三角形面积有关的问题 【例 3】 (2016·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cos C(acos B＋bcos A)＝c. (1)求 C； (2)若 c＝ 7，△ABC 的面积为3 3 2 ，求△ABC 的周长. 解 (1)由已知及正弦定理得，2cos C(sin Acos B＋sin B·cos A)＝sin C，2cos Csin(A＋ B)＝sin C， 故 2sin Ccos C＝sin C. 由 C∈(0，π)知 sin C≠0， 可得 cos C＝ 1 2 ，所以 C＝ π 3 . (2)由已知， 1 2 absin C＝ 3 3 2 ， 又 C＝ π 3 ，所以 ab＝6， 由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2abcos C＝7，故 a 2＋b 2＝13， 从而(a＋b) 2＝25.所以△ABC 的周长为 5＋ 7. 【方法规律】三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式 S＝ 1 2 absin C＝ 1 2 acsin B＝ 1 2 bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公 式. (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 【变式探究】在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足(2a－b)cos C－ccos B＝ 0. (1)求角 C 的值； (2)若三边 a，b，c 满足 a＋b＝13，c＝7，求△ABC 的面积
解(1)根据正弦定理,(2a-b)sC-cosB=0可化为(2inA-sinB)osC- sin ccos B=0 整理得2 sin acos c= sin bcos c+ sin Coos B=sim(B+Q=sinA ∵:0<A<丌,∴sinA≠0,∴,cos 又0c丌,∴C=3 (2)由(1)知∞C2,又a+b=13,c=7, ∴由余弦定理得c2=a2+b2-2 abcs ch=(a+b)2-3ab=16-3ab=49,解得ab=40 SAe1x2×40×0 真题感悟 【06高考新课标3理数】在△4BC中,B=4,BC边上的高等于3BC,则cs4=( (A) (B) (C) √0 0 【答案】C 【解析】设BC边上的高为AD,则BC=3AD,所以AC=√AD2+DC2=√5AD AB=√2AD 余 弦 知 AB2+AC2-BC2 2AD+5AD2-9AD2 V10 cOs 2AB·AC 2x√2AD√5AD 故选C 2.【2016高考新课标2理数】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA 5 COS C 13’a=1,则b= 【答案】 3 【解析】因为cosA 5 且AC为三角形的内角,所以sinA 5 5 sin B=sin[-(A+C)]=sin(4+C)=sin A cos C+cos AsinC-_63 ,又因为 所以 65 sin a sin B 6=aSIo B sin a
- 7 - 1.【2016 高考新课标 3 理数】在 △ABC 中， π 4 B = ，BC 边上的高等于 1 3 BC ,则 cos A = （ ） （A） 3 10 10 （B） 10 10 （C） 10 10 - （D） 3 10 10 - 【答案】C 【解析】设 BC 边上的高为 AD ，则 BC AD = 3 ，所以 2 2 AC AD DC AD = + = 5 ， AB AD = 2 ． 由 余 弦 定 理 ， 知 2 2 2 2 2 2 2 5 9 10 cos 2 10 2 2 5 AB AC BC AD AD AD A AB AC AD AD + − + − = = = − ，故选 C． 2.【2016 高考新课标 2 理数】 ABC 的内角 A B C , , 的对边分别为 abc , , ，若 4 cos 5 A = ， 5 cos 13 C = ， a =1 ，则 b = ． 【答案】 21 13