二、 确界若数集S有上界，则必有无穷多个上界，而其中最小的一个具有重要的作用.最小的上界称为上确界.同样，若S有下界，则最大的下界称为下确界定义2 设 ScR,S+O.若neR满足：(i) Vxe S,x≤n; (ii) Vα<n,Ex, eS, 使得x,>α,则称n是s的上确界，记为n=sups.后页返回前页
前页 后页 返回 二、确界 定义2 设 S R, S . 若 R满足 : 则称 是 S 的上确界, 记为 = sup S. (i) x S, x ; (ii) , , x0 S 0 使得 x , 若数集 S 有上界, 则必有无穷多个上界, 而其 中最小的一个具有重要的作用. 最小的上界称为 上确界. 同样, 若S 有下界, 则最大的下界称为下 确界
注1 条件(i)说明n是 s的一个上界，条件(ii)说明比n小的数都不是s的上界，从而n是最小的上界，即上确界是最小的上界。注2显然，条件(ii)亦可换成：Ve>0,3x,ES,x,>n-8.αxoxn点击上图动画演示后页返回前页
前页 后页 返回 0 x x 点击上图动画演示 注2 显然,条件 (ii) 亦可换成: 0 0 − 0, x S x, . 注1 条件(i) 说明 是 S 的一个上界, 条件(ii)说明 比 小的数都不是 S 的上界,从而 是最小的上 界,即上确界是最小的上界
定义3设SCR,S±O.若EER 满足：(i) Vxe S, x ≥5;(ii) Vβ>5, x,ES, x,<β则称是S的下确界，记为=infS注1由定义，下确界是最大的下界注2 下确界定义中的(ii),亦可换成V>0,3x,ES,x,<5+8后页返回前页
前页 后页 返回 定义3 设 S S R, . R : 若 满足 (i) , ; x S x 0 0 (ii) , , ; x S x 则 称 是 S 的下确界, 记 为 = inf S. 0 0 + 0, x S x, . 注2 下确界定义中的 (ii), 亦可换成 注1 由定义,下确界是最大的下界
例2 S- -=1-1,n=1,,求证nsupS = 1, inf S = 0.证先证supS-1(i) Vxe S, x=1-I ≤1;n(ii) 设α<1. 若α≤0, 则取 x=1--e S, x,>α.2若α>0,则令 =1-α>0,由阿基米德性,noI <6. 令x, =1- -eS,则 x,>1-6=α.使得nono因此, sup S=1.后页返回前页
前页 后页 返回 证 先证 sup S=1. 1; 1 (i) , = 1− n x S x , . 2 1 (ii) 1. 设 若 0，则取 x0 = 1− S x0 例2 1 S x x n 1 , 1, 2, , n = = − = 设 求证 sup S = 1，inf S = 0. 因此，sup S = 1. 0 若 = − 0, 1 0, , , 则令 由阿基米德性 n 0 0 0 0 1 1 . 1 , 1 . x S x n n 使得 = − − = 令 则
再证infS=0(i) VxeS, x=1-1≥0;n(ii) Vα>0,3x, =0e S, x,<α因此infS=0.虽然我们定义了上确界，但并没有证明上确界的存在性，这是由于上界集是无限集，而无限数集不一定有最小值，例如（0,8)无最小值以下确界原理也可作公理，不予证明后页返回前页
前页 后页 返回 因此 inf S = 0. 再证 inf S = 0. 0 0 (ii) 0, 0 , . = x S x 0 ; 1 (i) , = 1− n x S x 以下确界原理也可作公理,不予证明. 虽然我们定义了上确界, 但并没有证明上确界的 存在性, 这是由于上界集是无限集, 而无限数集 不一定有最小值, 例如 (0, ) 无最小值