C"≥ Cr:exp{-(1+e)(m(2+)+2-) =Cexp{-(l+c)∑(p(2 (1+g 类似于(2.2.3),存在d>0使得 exp{-(1+e)∑((212)+2-)} (1+)2∑p(2) 所以 C2m>d, Cn: exp-(1+e)2 >0(2)1 对任一n>n存在m使2”≤n<2m.由C。的单调性,我们得 Com. 1>d.C exp-(1+e)2 2P(2) ≥ -d Cm.exp1-(1+e)2m(2) 因此就得引理的断言 有时我们需要高于2阶矩的界 引理22.4设{Xn,n≥1)是p混合序列,EX=0,对某0<δ <1, sup EX, 且 (2.2.13) P(2)<∞, 那么存在C=C(δ,p(·)>0使对每一n≥1有 supE|S4(n)12+≤C EX)1+/2 t n exp:( Clogn)/(2+o)sup EX.2 证不难验证对 (2.2.14) (1+x)2-≤1+(2+8)2(x+x1)+x2+
sup‖SA(m)‖2+8,an=supS(m)‖2 显然地 ‖S4(2m)‖ ‖S2(m)+S+m+tm1/1(m)‖t++2m1/5a 由(2.2.14),令m1=m+[m15],我们有 E S(m)+ se 2a2+6+9E|S4(m)+Sk+m,(m) +9E|S(m)‖S4+n(m)|1+ 由 Schwarz不等式和引理1.2.7我们有 E|S4(m)11+4|S )≤‖S4(m)‖2 S4(m)Sk+m(m)‖21b)2 ≤a2{o20+4([m151)a2+4} ≤am+4m22+0)([m1/5]a2+ 类似地 E|S4(m)‖S4+m,、(m):1≤amo2+4212+0([m215])an。 结合这些不等式得 ES:(m)+Satm (m)( 6 ≤2a2+2+18(am+4p21(2+([m25])a2+) ≤2(1+36022+6)([m251)+oan+180n}2+6 由此即得 (2.2.15)a2m≤{2(1+3622+0([m15]))}1(2+ba +18an-2m15a1 注意到p(n)的单调性和条件(2.2.13),我们有 (n)≤c/logn, 这里及以后C均表示一个正的常数,在不同地方可取不同的值 因此,应用引理2.2.2,我们得 (2.2.16)≤{2(1+3622([2-1)))}(2+ba2- +18a1+2·2-15a ≤ ∏(1+362+([211 (2十3 29
+c>22I(2(1+9212([25])}2 j=;+1 +2a1∑2J(2(1+90242+)(2])(2- ≤C2201+22+oexp(C7 这就得到引理的结论 类似地,通过细致的估计,邵启满(1989a)证明了下列结果,其 证明不在此详述 引理2.2.5设{X,n≥1}是P混合序列,EX,=0,对某0≤6 <1,supE|X,2<∝,那么对任给e>0,存在C=C(,p(·),E) 0使对每-n≥2有 ≤C{(nexp{(1+e)∑(2) max EX +nexpic2p(21a(2 max EIX, 1213. 引理2.2.6设{Xnn≥1}是p混合序列,EX,=0,对某g> 2,E|Xn<.假设存在函数h(n)使对每一k≥0,n≥1有 ES(n)= nh(n) max EX2 且有正整数n和常数0<<22A使当n≥n时有 max(h(n/2]),h(n-[n/2]))≤(n) 进一步,当q>3吋假设存在C>Q使得 h(n) 2) 那么存在常数K=K(q,n、B,C,p(·)使对每一k≥0,n≥1有 EIS,(n)'ski( nh(n)max EX n exp: K∑(2))maxE|x, 现在我们来讨论♀混合序列的有关不等式, Peligna(1985)给 出了如下的尾概率不等式(参见邵启满1988a). 引理22.7设{Xn,n≥1}是φ混合序列,0<1.假设存在
整数p,1≤p≤n,和数A>0使得 (2.2.17)纵(p)+maxP(S,S,≥A}≤孙 那么对任给的a≥0,b≥0,我们有 (2.2.18) P( max S2a+A+6) P{|Sn{≥a nP/maxx, 1>6 p-1 (2.2.19)P{|S≥a+A+b}≤P{max|S,|≥a} 1≤t≤n +P{max(x≥b l≤而r 证令E={max|S<a+A+b≤|S,|}.那么 Pmax|S,|≥a+A+h}≤P(|Sn!≥a) +∑P(E∩{S.-S1≥A+b) 且 P(E,∩{|S,-S|≥A+b}) ≤∑P(E∩引S S,≥b}) P(E,∩:|S一S,-;≥A P(E,∩!|Sn-S,≥A+b}) ≤∑PE月{max|x, b P(E)(P(|Sn一S,+p-1≥4}+g(p)) ≤P{maxx,|≥ b +?{maxS≥a+A+b 其中在最后一个不等式中应用了条件(2.2.17).由此得证 (2.2.18)成立 对(22.19),令E,={max|S;<a≤|S|}并注意到对1≤ ≤ 31
≤n一p,|S,-S1;p-1≥|Sn{-51Pmx1X,我们有 P{Sn|≥a+A+b ≤P{S,≥a+4十bmax|S|≥a,maxx≤ ≤:件““p 1≤ +P maxX ≤∑P(E∩{S…S1>A)+P{mx≥ ≤P{maxS,|≥a+Pmax{X,≥ 1≤x≤n 引理证毕 引理2.2.8是属于邵启满,陆传荣(1986)的 引理2.28设{Xn,n≥1}是p混合序列,EXn=0且对某δ> 0,supE|Xn;0<∞.假设对某M>0 (2.2.20) sup ESi(n)≤ Mn sup ex 那么存在C=C(,M,g·)>0使对每一n≥1有 sup EIS, (n) 18< Cn+6/ sup E(X12+8. 证容易看到对r≥1和x≥0有 δ,x k 其中当r不是整数时8,=1,不然的话a=0,现在对r=2+δ用归 纳法来证明引理.假设引理对l≤[r]成立,不是整数.记am= sup‖S,(m)‖,从(2.2.21)我们得 (2.2.22)E|S4(m)+S4.mx(m) ≤ES2(m)!+E|S4+m(m) EJS, (m)'s 2+2∑)(A)an )(7)E|Sm)HE|S+m+4(m)