B1={}5+…+4≤C,},l=1,…,k一1,B= 那么 AA1=≠j,A=∪A, UA, B CB. 由引理的条件 P(AB1)≥P(A1)P(B)-a(q)≥P(41)-c(q), 因此 P(B)≥∑P(AB)≥∑P(A)-ka(q P(A)-Ka(q 引理证毕 下述引理大部分是关于部分和的矩的阶对ρ混合序列,较 早的工作是属于 Peligrad(19821987)的.邵启满(1988b,1989ab) 改进并拓广了她的结果, 引理2.2.2设{Xn,n≥1}是p混合序列,对每n≥1,EX =0,EX<∞.那么对任给e>0存在C=C(e)>0使得对每一k ≥1和n≥1 ES(n)≤ Cn exp{(1+)∑(2) max EX, 其中Sn)=∑X 证不失一般性可设0<e<1/4.设C是不减的数列使得 (2.2.1) ES(n)<C,n max EX2. 对n≤216,由 Minkowski不等式我们仅需取C≥21/,设C1=214. 假设Cnm=1,…,n-1已如引理的要求被定义了.令n1=[n/ 2],n2=n-n1n3=[n]+1.显然地 (2.2.2)ES￥(n)=ESi(n1)+ES+,(n2)+2ES(n1)S+(n2), 且进一步有 L ES,(n,)S,+,(n2) s lES, (n,)S+*(n3) ·23·
+|ES4(n1)S ≤|S4(n1)‖2|S,-,(n3)2+p(n)‖S(n;)2 ‖SA;,+n,( ≤2‖S(n1)f2‖Sn,(n3)l2+(n3)|S(n1) ‖Sk+n(n2) 把上述不等式代入(2.2.2)中,并注意到(2.2.1)我们得 ES;(n)≤(ES(n1)+ES1n(n2)、1+P(n)) 十4!S(n)‖2‖S(n3) ≤Cn,·n(1+p(n)} max EX2+4C,n2 2 mEx ex 奥<最+押 <C, (1+p(n+e)+4n2 2i*e)n max EX? 其中 p(x)=(P(i+1)-p(i)(x-i)+p(i)若i<x<i+1 因此对n≥2,我们定义 C,=Cn1+以(n)+4m可) 显然Cn是不减的,且 (223)C,=C22(1+o:2H})+4·2#) I(1+(2÷)+4·22(1+ ≤CexP:之((2)+4·2x+} ≤Ccxp{3+,(2+dz+c} ≤C1exp{3+(1+e) p(2)dsr+ Ce 2/1+E) ≤C1exp{3+(1+)∑p(2)+C}, 其中C,=4/(1-2,).令d=21exp(3+C).我们得 ≤dexp{(1+e)∑(2)}
对任一n,存在m使2≤n<2m+.利用Cn的单调性即得 C≤Cx+,≤dcxp{(1+e)以P(2)} ≤d,exp{(1+2p(2) 引理证毕 引理22.3设{X,n≥1}是P混合序列,对每一n≥1,EX =0,EX2<∞.假设对k一致地有 (2.2.4) E(n)/ min EX2→∞.n→∞, 且对某a≥1有 (2.2.5) max FX≤ u min EX2 k<inFm 那么对任一c>0,存在C'=C(e,只(·),a)>0和整数N使对每 k≥0和n≥N [loga] ES3(n)≥C"nexp{-(1+e)∑(2)} min EX2 证不失-般性可设0<e<1/40.由此可得 (3/2) 因此,注意到O(n)→0(n→∞),对某一充分大m0我们有 e-P(mo) 不难验证exp{2∑(2)是一个缓变函数由引理22.2和条件 (2.2.4),在整数n2使当n≥m0时 (2.2.6) ES;(n)≤n+' max EX?, (2.2.7) Es(n)≥4 ane min EX 当n≥2m时,令n=[n/2],n2=n-n1,那么 (2.2.8)ES(n)=ES(n1)十ES2+,(n2) +2ES(n1)St,, (mo)+2ES, (n1)+a,+m, (n2-me) ≥ES(n1)+ES2+n(n)-2‖S4(n1)‖2 |S4+n(m0)"2-2p(m0)‖S〔n)‖ 25
(1-(m)(ES(n1)+ESx+n2(n2))-4|S(n;)‖2 S4+n(m0) (1-0(m0)(ES(n1)+ES+n,(n2))-42ES(n1) -om: max EXZ ≥(1-42-p(mn))(ES(m1)+ES2+n(n2)) s2 a min EX2 ≥(1-52-0(mn)(ES2(n1)+E%21n,(n2)) ≥(3/2)6(ES(n1)+ES,(n2)) 首先我们来证明对每 几一nr (2.2.9) ES2(n)≥C2n1-6minE, 其中C2=2amn由(2.2.7),对于n≤n<2n(2.2.9)成立 当n≥2m时,我们假设对小于n的每一正整数(2.2.9)成立.那么 它对n也成立.事实上,利用(2.2.8)我们得 ES(n)>(3/2)C2(ni-66+n2"6)min EX nin EXZ min exz 下面我们来证明引理的断言.对n≥n+,令n=[n],n2=n n,n3=[n141+1.从(2.2.5)和(2.2.9即得 (2.2.10)ES(n)=ES2(n1)+ESz-n(n2) +2ES4(n1)ESk-,(n3) +2ES4(n1)S ≥ES(n1)+ES2n(n2) 4‖S(n1)i2‖S+,(n2)|2-2p(n3)S4(n1)‖ lS,+n,(n2)‖
≥(1-p(n3))(ES(m1)+ES2+x,(n2)) 4(m为)(+:2 max EX (1-p(n2)(ES(n1)+ES2+,(n2) An max EX k<而k十 (1-p(n3))(ES(n1)+ES min EX (1-(ns))(ES(n1)+ES+n,(n2) 8ac? n ESA(n, ≥(1-( n(/4)(ESA(n,)+ESE 最后的不等弓对n≥(8a2)10成立令 x(mh‘,(8aC21)120) 设Cn是不增的,使得对n≥n ES(n)≥ Cn min EX 那么由(2.2.10)对n≥n有 ES:(n)2(1-p(n3)--n2 40) Cn n min Ex? 计 in ex <k+ 因此对n≥n我们可选 (2.2.11) 容易验证存在n"使对n≥n”有 (2.2.12)1 xP{-(1+e)(( 令n=n'xm”,由(2.2.7),我们取Cn=4am/(∈n).显然,由 (2.2.11)定义的Cn,n≥2n)是不增的,从(2.2.11)和(2.2.12) 我们得对2">n有 Cr1(1-P2+) p{-(1+e)(p(21+)+2 由此可得