l1+2 由归纳假设,我们有 i2≤ (E!S4(m)1t)(EiS+m+(m)|)-p ≤c∑(m/supE|X,) 把上述不等式代入(2.2.22),得 1/r a2m≤(2+2 p() am cmas 选取充分大的k并如引理2,2.4的证明中同样讨论,就可推得此 时引理成立.类似地对[r]+1引理成立.引理证毕 利用引理2.2.7,邵启满(1988)证明着下述引理 引理229设{X,,n≥1}是满足(2.2.17)的p混合序列,q >0满足n4<1-那么 Emax|S;|≤(1-7-4)-1{(8A)+2(4p)Emax|x;|}, 其中v,p,A如引理2.2.7中所定义 证由引理2.2.7对x≥84我们有 P{max|S,|≥x} P{|Sn≥“x}+P{max|X;|≥ 4p 外Pmx:≥4}+2Pmxx产 因此对任给的B>8A有 BA qy-P{maxS,≥ydy≤qy- Pimax|S.!≥y}dy qy-Plmax. 1≤i≤: qy-P{max1x,|≥d 8A 1≤i ≤(8A) 7。9y0-1P{maxS|≥y}dy
2(4p) 1-。9yP{mx/x,≥y{dy 由此可得 gy2-P{max|S,|≥y}d 7{(8)+2(42) 7J。9-PmxX,|≥ydy ≤(1-7-74”)“1(8A)。+2(4p) E max X,|") 1≤f: 让B→∞就得引理的断言 个类似的结果是下述引理 引理2.2.10设(Xn,n≥1}是g混合序列,假设存在正数组 列{Cn}使得 (2.2.23) maxES(i)≤ch 那么对任一q≥2存在C=C(q·))使得 (2.2.24)Emax|S(i)≤C(c‰2-Emax|X,}) 证取=4,42=2cm由于y(p)→0(p→+∞),所以存在 p使得g(p)≤/2.利用(2.2.23)即可验证(2.2.17)被满足.因 此从引理2.2.9即得(2.2.24) ·34·
第I部分弱收敛 在这一部分中,我们研究形如 (I1) B∑X-A 的正则化和的概率测度(或分布)的弱收敛性.对于独立情形我们 已有一系列结果(参见 Petrov1971和 Billingsley1968).一个自然 的问题就是对相依情形如何呢?对于弱收敛性仅仅假设弱相依是 不够的.例如,设{,n≥1!是id.随机变量序列具有特征函数 f(t),又设 Xn=5n+1一5 那么{Xn≥1}是强平稳字列且满足§1.1中所述任何混合条件 和式 (2) 無 对所有n具有特征函数(t)12.引入某些限制使得和式∑X 的方差当n-∞时趋向无穷是合理的.因此我们总设当n+∞时 (I1)中的B趋向无穷 首先,我们叙述对混合随机变量极限定理证明中十分有用的 Bernstein分段法设正整数p=p(n),q=q(n),k=k(n)满足1≤p ≤n,q=0(p),k=[n/(p+q)卫,且记 1)在本书中,方括号·j有时表小最大整数部分,有时作为括号,从行文中能 明显地看出
X ∑x i(1)(p+q)+1 =jp+(-1)g+1 7+1= X 那么 (I4) +∑m 由弱相依性知,当q=q(n)充分大时,,2,…,是渐近独立的 另一方面,注意到q=),与S,相比较和∑v是可略的由此 可见, Bernstein方法允许我们把混合相依随机变量和作为独立和 来考察 利用这一方法,对a混合序列,可通过对独立序列类似的步 骤,来证明下述关于和的可能极限分布族的定理 定理Ⅱ1设Xn≥1}是强平稳a混合序列,{An}和{B,}是 两个实数列,B,x(nCG).假设和 B3 ∑X,-A 的分布函数F(x)依分布收敛于分布函数F(x).那么F(x)是指 数为a的稳定分布,而且 B ch(n) 其中h(m)是正整变量的缓变函数
第三章a混合序列的弱收敛 §3.1中心极限定理的充分必要条件 对a混合序列{X,,n≥1}, Ibragimov(1959,1962)首先给出了 中心极限定理成立的充分必要条件,在本章中除非特别声明总设 xn≥1}是强平稳a混合序列记S=∑X,G=VarS 定理3.1.1设EX1=0,EX<∞,那么当{x}服从中心极 限定理且imG=∞时,下述条件是必要的: (1)G=mh(n)其中h(x)是连续变量x>0的缓变函数 (2)当n→∞时对任·对满足如下条件的序列p=p(n),g= (a)p→x,q∞,q-0(p),p=0(n), (b)对一切B>0,n°q+p-2-0 (c)np-a(q)→0 且对任给e> (3.l.1) lir x'dF.x)=0 其中F(x)=P(S<x) 反之,若条件(1)成立且若对某对满足(2)中(a)-(c)的函 数p和q,(3.1.1)被满足那么中心极限定理成立 证先证(1)是必要的,由定理I1知h(n)是n的缓变函数 设分布函数G,(x)=P{Sn/o<x}依分布收敛于标准正态分布 φ(x),那么对给定的N>0 .2dG (x) xdo(r)