类似地,对I3有同样估计 进一步,注意到f(x)/x1xo和g(x)/xx∞,我们有 EXY1≤(E(|xM|/|xM))中 ECIYN/ ixs‖/‖Y ≤(Ef(|XM/‖XM)中(Eg(YN|/Yx12) MN/(f(M/I XMls)i(g(N/YN lk))+ ≤MN(f(M/‖X‖)六(g(N/Yg))中 因此 l≤2MN(f(M/‖X‖)(g(N/‖Yx) (n) (n)‖X‖r‖Y 现在把这些估计代入(1,2.6)即得(1.2.5) 作为这一引理的推论,我们有 引理1.2.4设{X,n∈}是a混合序列,X∈,Y∈ 米,且Ex<∞,EY<∞,1/p+1/<1,那么 (1.2.7)EXY-EXEY≤10‖X‖,‖Y",(a(m)-- 引理1.2.5设{X,n∈}是a混合序列,X∈ Y∈ 多*且E|X|2<C1,EY°≤C2那么 (1.2.8)「EXY一EXFY|≤10(C1C2)2+8(a(n))2+3. 对(a,B)混合序列和ρ混合序列,我们有下列引理 引理1.2.6设{Xn∈"}是(a,B)混合序列,X∈ l(),}∈l(9计+),p,9≥1且1p+1/q=1.那么 (1.2.9)|EXY-EXEY|≤1A(n)高‖x‖p‖Y‖ 证不失一般性假设a≥1,它蕴含着q≤1.令 Y1=YI(|Y}≤C),Y2=Y 其中C是正的常数,在下面确定.写 (1. 2:10)EXY- EXEY i SEXY,-EXEYII +|EXY2亠EXEY2
由(a,B)混合的定义和 Holder不等式 EXY1-EXBY1≤A(n)‖x‖a‖Y‖ ≤A(n)Cl-k‖x‖p‖Y‖身 IEXY21<(EIY2 1 )1-o(EIX 1Y2 14) P ≤(E|Y2)1呼(E|X|"EY +k(n)(Ex1)y(Y21)) ≤(EY|)-(EXEY|C- +A(n)(E(X|)“(E|Y)) ≤x‖,‖Yg+(n)‖X‖。|Y 且 EXE2≤‖X"p‖Y‖ 把这些估计代入(1.2.10)并取C=‖Y‖:(λ(n))1我们得 (1.2.9) 令(l.2.9)中p=q=2.容易看到 (1.2.11 (n)≤4A(n) 作为引理1.2.6的一个推论,注意到p(n)=A1/212(n),我们 有 引理1.2.7设{Xn∈z}是p混合序列,X∈L(。)且 ∈I,(n),p,q≥ q=1.那么 EXY-EXEY|≤4p(n)‖x‖,!Y‖ 对于φ混合情形,我们有如下三个结果 引理12.8设Xn∈z}是华混合序列,X∈L()且 Y∈I(料,)pq≥1,1p+1/q=1.那么 (1.2.12)|EXY- EXE=≤2(gn)x‖,‖Y‖ 证首先,我们假设X和Y是简单函数,即 6 其中∑,和∑,是有限和且A∩A=中(i≠k),B,∩B=(≠)
A∈.9,B,∈x所以 EXY一EEY=∑aP(AB)-∑aP(A)P(B 由 Holder不等式我们有 (1.2.13 EXY- EXEY I a, (P(A)))/p ∑(P(BA)-PE)(P(A) ≤(P(A)"∑P(A) 之6(P(B1A)-P(B) ≤X|∑P(A)(∑|(P(B1A) +P(B))(P(B,A)-P(B))3/ ≤2X,Y,mx(∑P(B,A) P(B,) 注意到 (1.2.14) P(B|A,)-P(B,) =(P(U:B;|A.)-PUB)) (P(∪UB,A1)-P(UB,)) ≤29(n) 其中U(U)是对P(BA)-P(B)>0(P(BA)P(B)<0) 的所有j上求并.把(1.2.14)代入(1.2.13),对简单函数得证 (1.2.12) 为完成引理的证明,设 if」X|>N X N k/Ni/N<X≤(+1)/N,|X≤N
0 if yi>n Y k/Nik/N<Y≤(k+1)N,Y≤M 我们已证对X和Y(1.2.12)成立.此外,注意到 Ex-Xx|→0,EY-YN→0,N→∞, 让N→∞,对一般情形得(1.2.12)成立 设(12.12)中p=q=2.容易看到 (1.2.15) p(n)≤2y2(n) 从引理1.2.8的证明,我们可得到 引理1.2.9设{Xn,n∈z}是g混合序列,∈界且Y∈ 多,|X≤C1,Y≤C2,那么 (1.2.16) EXY-EXEY|≤2C1C2(n) 令(1.2.12)中p=1且q=∞.从引理1.2.8,我们又有 引理1.2.10设{X,n∈}是g混合序列,X∈且Y∈ 奸n,EX1<∞,|Y|≤C.那么 (1.2.17) EXY-EXEY≤2Cy(n)EK 最后,我们考察ψ混合情形 引理1.2.11设{Xn,n∈z}是ψ混合序列,X∈。且Y∈ n,E|X|<∞x,E|Y<∞.那么E|XY<∞且 (1.2.18) EXY-EXEY≤中(n)Ex|E|Y 证首先,假设X和Y是非负简单函数我们有 IEXY-EXEY|=2ab,(P(A, B )-P(A,(B)I ≤>a(n)P(A)P(B) y(n)EXEr 由此,(1.2.18)对非负随机变量X和Y成立 对一般情形,写X=X+-X,Y=Y+-Y,我们有 ExY-EXEY≤|EX+Y+→EX+EY+ |EX+Y-一EX+EX|+|Exy￥+ EX-EY+i+EX- Y--EX- Ey- t
≤ψ(n)(EX+Ex-)(EY++EY-) ≤y(n)E|XE|Y 最后,我们综合诸混合性质间关系.容易验证 (l.2.19) 2a(n)≤B(n)≤g(n). 从马氏过程为φ混合的充要条件,我们可指出一个混合 ( Markov)序列不是φ混合的例(见Blum, Hanson和 Koopmans 1963) Ibragimov和Solv(1969)给出一个平稳a混合 Causs过程 但不是P混合的例子;这一过程也是P混合而非β混合的例子 Davydov(1973)构造了个平稳a混合Mako过程,它的混合系 数以几何速度趋向零而它不是p混合的.一个几何地遍历 Markov 过程,它不是 Doeblin常返的,它是A混合面不是φ混合的(见An drews1984).综合这些结果,并回顾注1.1.4,(1.2.11)和 (1.2.15)我们有 R混合a混合 ψ混合φ混合{以 P混合a混合 λ混合