p(n)=supp(分t, 定义1.1.3序列{Xnn≥1}说是甲混合或一致强混合的,若 g(n)=supg界1,n)0,n→ 定义1.14序列{X,n≥1}说是中混合或*混合的,若 (n)=8upψ(1,n)→0,n∞, 定义1.15序列{Xnn≥1}说是绝对正则的,若 6(1,分x,) 定义1.1.6设0≤a,B≤1,a+B=1.序列{Xn,n≥1}说是(a, 8)混合的,若 A(n)=supA(t,多数n)→0,n→∝ 注1.1.1对具有参数集为R+或R或z的序列,上述定义的 修正是平凡的 注1.1.2a混合的概念由 Rosenblat1956)所引入P混合 概念由 Kolmogorov和 Rozanoy(1960)所引入 Dobrushin(1956)首 先对马氏过程引入了混合的定义.对于平稳过程这一定义是由 ibragimov(1959)及 Rozanov和 Volconski(1959)分别陈述的(我们 也可追溯到 Hirschfeld(1935)和 gebelein(1941).绝对正则是由 Kolmogorov提出的(参见 Rozanov和 Volconski1959).Blum, Hanson和 Koopmans(1963)给出了φ混合的概念.(a,B)混合概念 是由 Bradley(1985a)和邵启满(1989a)独立地给出的 注1.1.3Doob(1953)指出,-个 Doeblin不可约马氏链是φ 混合的且g(n)≤ab”(某a>0,0≤b<1); Rosenblat(1971)证明一 个纯非确定马氏链是a混合的; Davydov(1973)给出一类B混合的 马氏链. 注1.1.4为简单计,我们总设混合系数a(n),p(n),…,A(n) 等都是非增的 显然地,由定义可见 p(n)=A12,1/2(n), λ,(n)=g(n)≤y(n). 且进一步,若在P混合定义中取X=I(A),Y=I(B),则有
)≤p(n Kolmogorov和 Rozanov(1960)对于Gaus序列研究了a混合 和ρ混合间的关系 定理1.1.1对Gaus序列{Xn,n≥1}我们有 a(3t,多n)≤P(1,多计n)≤2a(,,) 证前一不等式是显然的, 对任给ε>0,存在随机变量X∈L2(),Y∈L2(,使得 EX=EY=0, VarX= VatY=l E :EXY≥(1,n)一E. 注意到A:={X>0}∈!,B:={Y>0}∈n,我们有 PCAP(B)= 1/ 4, P(AB)M- 1(x-2rty+y2)dxd 通过一个初等的计算(参见 Cramer1946p.290),得 (11.1) P(AB)=1+1 arc sinr 若a(1,多;n)>1/4,显然地 2ma(t,只斗+,) 若a(3,n)≤1/4,由(1.1.1)我们得 a(s1,i+.)> P(AB)- P(A)P(B) -arcsin 由此即得 p(,yn)E≤r≤sin2xa≤2ra 由ε的任意性得证定理. Kolmogorov和 Rozanov(1960)也研究了一个弱平稳序列的诺 函数与P混合性之间的关系.首先,我们给出一些记号及有关平稳 序列的概念记{Xn}的协方差函数为 R(n)=EXmXm+
由 Herglotz定理,对R(n)存在着谱表示如下 R(n)=einddF(a) 其中F()称为平稳序列的谱函数.当谱函数是绝对连续时,它的 导数f(A)=F(λ)称为平稳序列的谱密度 定理1.12若平稳序列的谱函数不是绝对连续的那么 p(n)≡1,即序列不是p混合的,反之,若谱函数是绝对连续的,那 0(n)= inf ess sup|f()一ch(e")|/f(λ), 其中inf是对在单位圆中解析连续的h来取的进一步若存在单位 圆中解析函数h0(x)具有边界值h(e“)使得|f(/h(e)|≥e >0且((A)/h(e“))-致地有界那么对某c>0 p(n)≤cn 特别地,当f(A)是e"的有理函数时,对某c>0 p(n) 定理1.1.2的证明不在此陈述(参见 Kolmogorov,R ozzanO 1960) §1.2基本不等式 设X为可测,Y为多n可测 在本节中,对各种不同的混合序列我们来建立协方差 Cov(X,Y)=EXY-EXEY的界,首先,我们考察a混合情形 引理1.2.1设{Xnn≥1}是a混合序列,X∈s,Y∈ 5n且X≤C1,Y|≤C2那么 (1.2.1) EXY-EXEY|≤4C1C2a(n) 证由条件期望的性质,我们有 EXY- EXEY EEX(E(Y I9oo)-Ey)) ≤C1EE(Y)一EY|=C1E{E(Ys)-EY}, 其中E=sgn(EY|)一EY)∈,即
EXY- EXEY.≤C1|EY-EEEY 同样讨论可得 EY一EEY≤C2E一EE|, 其中7=sgn(E(n)一E).所以 (1. 2. 2) EXY-EXEY<, C2 EEn-EFEnl 令A==1},B={=1}.显然地A∈多,B∈多料n利用a混 合的定义,我们得 Es7-eEEn I I P(AB)+ P(AB)-P(AB)-P(AB) (P(A)-P(A))(P(B)- P(B))s 4a(n) 代入(1.2.2)得(1.2.1) 引理1.2.2设{Xn,n∈2}是a混合序列,X∈,Y∈ 3+n且对某P>1,EX<∞,Y≤C那么 (1.2.3) EXY-EXEYI<6C X l,(a(n))a 其中1/p+1/q=1 证设XN=XI(|X≤N),XN=X-XN.写 lEXY-EXEY SIEXNY--EXNEY +JEXNY-EXNEYI 由引理1.2.1,|EXMY-EXEY|≤4CNa(n).对上式右边第二 项,我们有 EXY- EXNEY≤CE|XM≤2 CN-PTIEIX| 取N=‖X‖,(a(n))-1就得(1.2.3) 对随机变量X和R+上连续不减函数f(x),f(0)=0,但不恒 等于0,定义 lxl‖r=inf{t>0,Ef(|X|/t)≤1} 由此定义,容易知道 (1.2.4) ‖X=0÷→X=0 且当0<‖X‖<∞时,有Ef(|X/‖X‖)≤1;此外,若|x1|≤ X2|a.s.,那么‖X1‖r≤‖X2Ⅱ 引理1.2.3设{xn,n∈z}是a混合序列,X∈x,∈ 罗升n,f(x)和g(x)是R+上两个连续函数,f(0)=g(0)=0,且对
某r>0,5>0,∫(x)/x#A∞,g(x)/xM∞,‖x‖;<o, ‖Y"g<∞那么 (1. 2. 5). JEXY-EXEY1 <10 inv a(m) inga(m)a(n)NxW∥Y 证从引理的条件容易看出EX1+<∞且EY1+<∞ 若‖X‖r=0或‖Y‖g=0,从(1.2.4)即得(1.2.5)立若a(n) 0,由X和Y的独立性得(1.2.5)是平凡的.现在我们假设 ‖x‖:>0,‖Y‖g>0和a(n)>0.存在M>0和N>0使得 a(n)=1/f(M/‖X‖)=1/g(N/‖Y‖x) 设 XM=XI(IXSM), XM=X-XM Yx=YI(|≤N),Y=Y-YN 我们有 (1.2.6) |EXY-EXEYIS EXMYN- EXNEYNI +EXM EXMEYN + lEXMYN- EXMEYN +JEXMY'N- EX'MEYNI :I1+I2+I3+I4 由引理1.2.1,I1≤4MNa(n).注意到f(x)/x∞,g(x)/x∞, 我们有 E|XM|=E(|XM/‖XM‖)‖XM‖r ≤Ef(|X'M/|XMr)M/f(M/‖Xklr ≤M/f(M/非Xy). 所以 I2≤2MN/f(m/X‖r)=2inv a(n) inv (n)x‖;Y‖