第二章部分和的矩估计 混合随机变量序列的部分和的矩的各种估计在极限理论中扮 演了重要角色.在§2.1中,我们给出了各种混合序列部分和的方 差的若干表示形式,§2.2专门导出部分和的矩的若干不等式,顺 便也在该节中给出了某些概率不等式 §2.1部分和的方差 设Xn,n≥1}是(弱)平稳序列,EX1=0,EK<∞.记Sn X,我们研究它的方差VarS,设平稳序列{X,}的相关函数为 R(n),谱函数为F( 首先,我们通过R(n)或F(A来给出 Var SnI的表示式 定理2.1.1 S.=∑(n-1)R(), (2.1.2) Var dF(d) 若谱函数F(从)是绝对连续的即存在谱密度f(A),且进一步f() 在A=0连续,那么 (2.1.3) Var s=2x/(o)n+o(n) 证由相关函数的定义 Var s EXX R(t一k) (n-|)R(j) 又由相关函数的谱分解得 3
∑(n-1)dF(A) 从初等计算可知 )e1=sin2々λ}., 代入得(2.1.1)和(2.1.2) 若∫(4)存在且在λ=0连续.注意到 sin2/sin2odA=2 2 我们有 Var S,-2If(o)n Sin 2/sin2(f(x)-f(o))dx ≤max|f(4)-f(0) d sinn(()(o))dx (n/2) 4≤:A≤r ≤2丌 max f(4)一f(0)+0(n1/2)=o(n) 得(2.1.3)成立 当平稳序列满足某种混合条件时,方差 Var s具有显明形 式 定理21.2没平稳序列{X是9混合的且当n→∞时Ⅴar ox .那么 (2.1.4) Var S,= nh(n) 其中h(n)是n的缓变函数且它的定义域可延拓于R使得h(x)也 是R上缓变函数. 证首先,我们来证h(n)是缓变的记G=varS等价地,我 们来证对每一正整数k (2.1.5) lim oh/02=k 设
X-1)+G-1+,j=1,2 1,2…,k-1; 其中r=[log].由定理1.1.2,{x}具有谱密度f(λ).利用 (2.1.2)我们得 (2.1.6)G2= Var S= .(m2)(m2)(a f(ada 因此r=[logo2]=O(lgn),且进一步 (2.1.7) ∑E+2∑B+∑En+∑B 由序列的平稳性,B日==VarS,从引理1.2.8对i≠j我们有 (2.1.8)E,≤29( r)12!.2!,‖:≤2g(r)12a2 利用 Schwarz不等式和(1.2.6),我们有 (2.19)班,,≤‖年,‖2‖,Ⅱ2=,=O( g, logo,), (2.1.10) E,≤a=O((logn)2) 把(2.1.8),(2.1.9)和(2.1.10)代入(2.17)中并注意到当n→∞ 时g()=0(1),我们得 kG+0(G2), 由此即得(21.5) 其次,我们来证h(n)的定义域可延拓于R使得h(x)也是R 上缓变函数,回顾(2.1.6),我们定义 (r) sIr f(λ)dλ h(x)=ψ(x)/ 为证明h(x)是缓变的,只需验证对任何a>0
2,1.11) limy(ax)/中(x)=a 不难从ψ的定义知道当x→∞时 y(x)=∮(Lx])(1+o(1)) 当(2.1.11)式中的a为整数时,我们有 h y7)=n(7(1+0(1)=441+0(1) 所以,对a=p/q,其中p和q是整数,我们有 lin y(ar) p(x) E m q 对任一正实数a,令 lim (ar) moz> pa(a)=lim g( y 对任何有理数a,由上面的证明知ψ(a)=y2(a).因此,只需证明 y1(x)和(x)都是连续的.因为 (a+E)x)一火ax) p(r)|J-x x-2 sinexdsinazd ∫(λ)d+ sin 2sinaaf(A)da p (er2 y(er) g(x) φ(x) 只需证明ψ(a)和ψ(a)在a=0连续.利用关于缓变函数的性质 A4(见附录),对充分小的c>0,当x0时,我们有 s(er) [er: A( alli d(r) trh(y(1+o(1)) ≤E1(1+o(1)) 因此ψ(a)和ψ(a)在a=0都是连续的 定理2.1.2得证 注2.1.1在定理2.1.2的证明中,g混合性仅被应用于给出
不等式 ES,∑X≤29)2‖S.:Sn 这梯对a-混合情形,我们也有 定理21.3设{Xn,n≥1}是强平稳a-混合序列,满足EX1 0,E<∞,0=ESn→∞且{S2/G,n≥1}致可积.那么定理 2.1.2的结论成立 证由定理2.1.2的证明和注2.1.1只需证明下列事实 2.对任…E>0,存在p=p(E),N=N(e),使得 唯十p ESn∑≤ 当n,m≥N(e)时 第一个事实是定理的一个假设.考察后者.从{S/}的一致 可积性,对任给E>0,存在K>0使对充分大的p E S2/di dP<-, Kaip)<E/16. 那么,由引理1.2.1, Schwarz不等式和强平稳性,我们得 ES X;/σa m+ nt p S dP K一dP+ √K iSminle-onteldP G dP ·土戶丌21 ≤4Ka(p)十E/4E/4+·E/4≤E. 对ρ混合序列, Peligrad(1982)证明着下述一般结果.记S(n) k+可 定理214设{Xx,n≥1}是P混合序列,EX=0满足下述 17