从而 kwM(…)≤2m+m7(2,)=0 因此对于|x}=r,上的任意点x恒有 =log f(x) O(log r,) R 应用推广的 Liouville定理(参阅 Titchmarsh[1186-87)可知,g(x) 为常数,即f(x)为有理函数,与引理假设矛盾 现在我们有以下的 Picard定理 定逕L7.设f(x)为开平面上的超越亚纯函数则f(x)取任意 复数无穷多次,至多可能有两个例外值 证,若定理结论不成立,即存在三个判别的复数ay=1 3)使f(x)=只有有穷个根.从而 (r,a)=O(logr),(u=1,2,3) 命 (142) 则 (4)+N(ng21)+M,B 对g()及0,1,∞应用定理14,并计及定理16得 T(T, 至多可能除去一个线性测度不超过4的集合,于是 TO in 根据引理15,g(x)为有理函数因此f(x)也是有理函数,这便与 定理假设相矛盾 定义17.设函数f(x)于开平面亚纯,“为任一复数.a称为 f()的 Picard例外值,若f(x)-a没有零点 由定理17可知,超越亚纯函数的Pard例外值至多只有两
个,上界2是精确的,例如c有两个 Picard例外值,∞,m对于 任意有穷非零复数a,e-a都有无穷多个零点 应用R. Nevanlinna第二基本定理,还可郎导得urct定 理.为此先引进Boe!例外值的概念 定义18.设f(z)为于开平面亚纯的函数,级为有穷正数,a 为任一复数.a称为f(x)的 Borel例外值,若 (14.3) lo 引理16.设函数=)于开平面亚纯级为有穷正数,则fx) 以某复数a为Bore!例外值的必要且充分的条件是 log 证。由 log 2 与 N(r,f=a)-N(ro,f=a ≤n(,f却a)log lim log n(,,f= a lin log r g T 于是引理的结论可立即从定义得到 定理18.设函数八(z)于开平面亚纯,级为有穷正数,则f(x) 的Boel例外值至多有两个 证.假没定理结论不成立,则存在三个判别的复数(”≈] 2,3),使得f(x)以a,为 borel例外值.根据引理1.,则有 li logN(r,f=a,) (y=1,23)
无妨设a(=1,2,3)为0,1,∞,否则作变换(142)即可化 为所述情况.对f(x)以及0,1,∞应用定理14与定理1.6,注意 到f(x)为有穷级,则 (r,d)< ,)+O(logr). 于是 这与f(x)的级为L相矛盾 显然f(x)的 Picard例外值必为它的Brel例外值,于是在有 穷正级时, borel定理发展了 Picard定理 1.42.亏量关系 Nevanlinna第二基木定理不仅包含了 Picard-Bore定理,而且 从它可以引出亏值、亏量的概念,得到重要的亏量关系 定义1.9.设(x)为开平面上的超越亚纯函数,a为任一复数, 定义a对于f(x)的亏量(或简称为亏量)为 Nr 8(a, f. lim Gr, t 容易看出0≤8(4,力≤1 定义110.复数a称为亚纯函数f(x)的亏值,若共亏量大 于0.它也称为 Nevanlinna例外值 粗略地说,a是f(x)的亏值是指在开平面上f(x)一a的零 点比较“稀少”,它是 Picard例外值和Borc例外揸的发展,不过 一般说来更加精确. 定理19设f(x)为开平面上的超越亚纯函数则f(=)的亏 值至多为一可数集,且 28(a,力)≤2 14.5
证.若an(υ=1,2,…;q)为一组互相判别的复数,则由定 理15有 lir 2T(r, f 于是 ∑(a,1≤lm 从而对于任意正整数j使得亏量大于1/的亏值少于2个,但是 E{a:(a,f)>0}=∪E=:6(a,f 因此f(x)的亏值至多为一可数集,在f(x)的亏值中任意取有限个 a=1,2,……,q)都有∑8(a,力≤2.从而所有亏值的亏量 总和不超过2. 亏量总和的上界2是可以达到的.例如对于c有 δ(0,cx)+∞,c*)=2 当f(x)为超越整函数时,显然80,f=1,于是 ∑a(4,f)≤1 1.4.6 设f(x)为开平面上的超越亚纯函数,若“是f(z)的 Picard 例外值,则4必为f(x)的亏值,且8(4,f)=1.于是定理1,9包含 了定理L7 注事实上亏值最初是由 Collingwood引进的但是 Callingwood 赖以引进亏值的不等式(定理15)是 Nevanlinna基木不等式(定 理14)的推广.所以通常还是将亏值称为 Nevanlinna例外值 在获得Pard定理与亏量关系(定17与定理1.9)时,我 们部假定了函数f(x)是超越的.当f(z)为有理函数时,相应的结
论(定理17的结论须改变为取到任意复数)也可用类似的方法证 明,只要注意到f()=P(x),则 Q() ≤ 0( 于是这时R. Nevanlinna第二基本定理的余项有S(r,f)=0(1)。 当然,在有理函数这种简单情况,用直接验算的办法还可以得 到更强的结论 设f(x)为有理函数,则f(x)能取到任意复数,至多有一个 Picard例外值.并且f(x)有且仅有一个亏值 14.3.置值 现在我们来推导 Nevan nna第二基本定理的另一形式 设函数f(x)于|z!<R(≤∞)内亚纯,4为任意有穷复数 对于0<r<R,以r,f=a)表示在|z!≤r内,f(x)-a的 零点数每个零点仅计一次,它有时世记为列(”,。)成(, a).又记 (0,f=a)。∫0,若f0)÷a, 1,若f(0) 置 N(r,f=a 放0f=a)ogr 称之为f(*m4的精简密指量或记为N(r N(r, a) 类似地有rfo)(或水(r,力),礼r,∞))以及N(r,f=) (或N(r,f),N(r,∞) 由定理1.5,若ay=1,2,…q)为一组判别的复数,刘 1r)+S(r,f)