7{r+)<27() (1324) 且 R ≤2.特别地若10<p<p<R与R-p′≤ 则在区间(p,p)内必有r使(1:3.24)成立 证.(1)倘若(1.323)式在10≤r<∞0恒成立,则引理中(1) 的结论已经成立.在相反的情况,记F为使(1323)式不成立的 r(≥)的集合.囚为T(r)是连续函数,ED显然是闭集 记 a minLog r!=r!+ r2=min Eon[r, ooh,r2=r2+ min{E∩[r130)},r=r,+~ 倘若存在无穷个r,则r,不可能趋向于一个有穷的极限x 因若不然,由于,<r≤r,+1(v=1,2,…),则r也趋向于x 但是对于所有的v有 (rv) T(r) 这便推得一矛盾,于是n,=∞.从而EC{∪[r,r}.故 sE≤∑(-r=∑ 注意r(v=1,2,…)都属于E,因此 r(r)≥7(r-1)≥2(-)≥…≥2-1(1)≥2 于是
msE≤∑ (2)作适当的变数替换,使化为(1)的情况.事实上仅须置 1 og R 0 g 则T(p)=T(R-c-)就是在A≤p<0上定义的函数.根 据(1),使 T ≥2T(p T,(p) 成立的值p(≥p)构成集E,其线性测度不超过2.相应于E的r 的集合记为Ea,则 R 当r∈E0时有 (r)<2r(r), 共中 lo 1o 十 R R-( +(R一r){1 计及 R 当R R 时,有
ds R-P R 于是在区间(,p)内存在值r不属于E0,即 R <2 T(r) 1.35.第二基本定理的余项 应用引理13和引理14,我们可以对第二基本定理的余项进 行讨论 定理16,设Kx)在开平面亚纯,不蜕化为常数,S(r,f)由 定理14中的(1,34)或定理15的(1.39)确定.则当f(z)为有穷 级时有 S(r,d=0(logr), (r→∞);(.325) 当f(x)为无穷级时有 s(r,f)亠O{lg(rT(r;))},(r→∞),(1.3.26) 可能须除去一个集合E,其线性测度为有穷 证.我们仅考虑定理15中的余项,至于定理14中的余项形 式更为简单,完全有相同的结论 若记 则 ,)+m(里) +O(1) 当f(z)的级x为有穷时, 1)f(x)在开平面亚纯系指fz)在|x1<∞亚纯,有时简称为亚纯函数 2)由引理1.4的证明,或者说可能须除去一列总幅长为有穷的例外区间
r(,q)≤∑7(r,f-a,)≤qr(,+0(1) 在引理1中取p=2r,对 (2)-0(,m(,)=0(k,(→∞ 从而 S(r;f=0(logr),(r→∞) 当f(x)为无穷级时,存在ro使T(ro,)≥I,T(n,甲) 由引理14,相应于r(r,f)与r(r甲)的除外值集分别为E1;E2 则msE;≤2(;-1,2).当r(E1UE2),取p=r+1-,有 olog(rT(r, ) 从而 SCr,j=of log(rT(r,f))], 除去r的一个集合,其线性测度不超过4 由于当a为有穷,且f(0)与a,时有 lo <To,1+loga,+log 2 lo 于是定理15也可以叙运为 定理15·没函数f(z)于开平面亚纯,不蜕化为常数.又设 2y=1,2…q)为以≥3)个判别的复数(其中可以有一个复 1)即aR2,…,q中两丙不相等
数等于无穷)则 (q-2)r(r;f 1(r)+S(r,f) 这里N(r)仍如(13.3)式表示,S(r,f具有定理16中所表述的 余项的性质 §14.第二基本定理的应用 I4I. Picard-Borel定理 为了从第二基本定理导出 Picard定理,我们先注意下述事 实 引理1.5.没f(x)为开平面上的超越亚纯函数,则 lim 7(,f (14.1) 证.设若不然,即存在一个适当大的正数M和一列趋于无穷 的正数r,使lm7(1<M.由 Nevanlinna第基本定理 有 li N(r,, f2sM. lir 于是在开平面上f(x)的琴点数目和极点数目都不超过M,作有理 函数R(x),使与f(x有相同的零点、极点、重级也相同,则 k5=,其中x(为整函数 由于R(x)是有理函数,故7(r,R)=0(logr).于是 r,1)≤r(m,)+了(r,R)+0(1)=O(mgn,) R 1开平面上的超越亚纯函数系推不蜕化为有理函数的亚纯函数