其中Sr,f具有定理16所述的余项性质 我们来讨论N(r)的性质 N()=2N,-N(x,1+N( 2N(r,f)一N(r,f)= 1( fsf=∞ +n1(0,f Dlog r, 它是重级极点的密指量,其中n1(t,f=∞)=2(t,f)-n(,) 若f(x)在x0处有一个重极点,則n1r,f=∞)在x处计算 一1次。又若a是一有穷复数,f(x)-a在z0处有一个死重 零点,则()在处计算一1次,于是记 与N1()={()-m(D)a+”0)logr,它是重级值点密指 量对于任意复数a(有穷或否),若f(x)-4在x处有一个 重零点,则n1(t)在如0处汗算k一1次.于是 N()≤∑N 1 从而 Nevanlinna第二基本定理可以写为 g-2x,0(,;.)+(,1(12) 定义111.设f(z)为开平面上的超越亚纯函数,4为任意 复数.定义 e(a,t)=l-lim NGr, a) r 6( a,f=lim liza 34·
由(147)以及 8(a,f)+以(a,f)=imm(r;a)+inr。a)-N(r,a) r 6(a,f) 我们有 定理1,10.设f(x)为开平面上的超越亚纯函数,则使6 )>0的值a至多是可数的,并且 之{8(,1+6(a,1)≤∑6(a,1≤2.(1.) 定义112.若f(x)-a的零点(当a为∞时,则相应地为极 点)的重级均≥2,则称a是f(x)的一个完全重值 系1.在定理110假设下,f(x)的完全重值至多有4个 事实上,若a是fx)的完全重值,则 6(a:)=]-1m 7(rf) N(r,a 1.4.9 于是由(14.)式可知f(x)的完全重值至多有4个 系2设f(x)为一超越整函数,则f(x)有穷的完全重值至多 有两个 事实上:对于整函数f(z)有 ∑6a,f)≤ 结合(149),立即有系2结论 系1和系2的结论都是精确的.例如 Weierstrass椭圆函数 ()于开平面亚纯它满足函数方程 W(x)2={(x)-413{(=)-an}(x)-a3},(1.411) 其中a1,a2,4是互相判别的有穷复数.显然当(x)=a( l,2,3)时有W(a=0,于是4(=1,2,3)是x)的完全重
值.从(14.11)还可以看出8(z)仅有级极点因此∞也是8() 的完全重值, inz是一个整函数,1和-1是它的两个完全重值.因为当 sinz=±1时,显然其导数cosz=0. 系3.设f(z)为开平间上的超越亚纯函数.又设 ,p)为一组判别的复数,lv=1,2,……,)为大于1的整 数,若f(x)一a(=1,2,…,户)的零点重级均≥l则 S:(1-1)≤2 (1412) §1.5.第二基本定理的推广 在本节里,我们考虑将第二基本定理中的常数易为函数的推 1.51.某些特殊结果 R. Nevanlinna2曾经在含有三项密指量的第二基本定理(定 理14)中将常数易为增长性较低的函数.他建立了 定理1.1.设函数f(z)与甲,(z)(v=1,2,3)在开平面亚纯 且 T(r,,)=or(r,D] (v=12,3), {1-c()}T(r,f< +S(r;f),(151) 其中S(r,f)具有定理1.6所述的通常余项的性质 事实上,若命 g(x)-f(=)=().甲(=)-g(x (152) φ1(z 则由定理14得
7(,g)<N(r,g)+N(r,)+N + S(r,g). (1.5.3) 由(152)有 02- 于是 T(r,f≤T(r,f一q)+了(r,q3)+log2 +o(t(r, ≤T(,g)+o(T(r,f) 从而 (1-o(1))T(r,f)<7(r,g) 由(1.5.2)易知 M(,》)+N(,4)+N(,a21) 这样由(153)即有(151) 此外根据(152)式有 ()=野二{里二里 故 r(r;g)≤{1+o(1)7(r,f 当f(z)为有穷级时,g(z)亦为有穷级,于是(153)式中 的余项S(r;g)=O(logr)。当f(x)为无穷级时,g(x)亦为无
穷级,S(r,g)=0{log(rr(r,g))}←O{log(rT(r,f)}除去 个测度为有穷的集合 基于定理1.11R. Nevanlinna曾提出在第二基本定理的一般 形式(定理15)中,是否可以把常数都替换为增长性较慢的函数 他还指出把常数替换为多项式是不难做到的,但是要替换为一般 函数,则十分医难 一些特殊情况曾先后为J. Dufresne熊庆来所研究,例如 手 Dufresnoy曾得到 定理1.12.设函数f(x)于开平面亚纯,不蜕化为有理函数 若P(x)(v=1,2,…,q)为q个次数不超过4的多项式,互相 判别,则对于0<<∞有 d-2)7(r,1)<∑N 15.4 这里S(r,f)具有通常余项的性质 在证明定理1.12前,我们注意一个事实 引理1.6.设函数f(z)于开平面超越亚纯,则对于任意正整 数有 S(r,s. (15.5 其中S(r,f表示具有定理1.6中性质的量 证,当=1时,由定理1.6中的论证,引理结论显然成立 设(1.55)式在死=l时已经成立,我们欲证它在=1+1时也 成之 由于n(r,f()=n(r,)+in(r,)≤(l+1)n(r),故 r(r,f)=m(”,)+N(r,f) ≤m(r,f)+ ≤(l+1)7(r,f)+S(r,)