f(z)=c,在12中已曾计算r(n:c)=2,厢m( =0.但是要对任意亚纯函数证明这个结论却是一个深刻的事 实.它由下述 Nevanlinna的基本引理所表达.由于=(logf) 所以也称为对数导数引理.它在 Nevanlinna第二基本定理里起着 关键的作用,这里采取了G. Valiron{改善后的形式,这种改善 对于在正规族理论和Borc方向的应用来说是重要的 引理1.3.设函数fx)于!x<R(≤∞)内亚纯.若f0) ,∞,则对于0<r≤p<R有 (分)<10+: 3lg+1-+41ga+4bog+T(,分).(1315) 证。由于 ~(g,为了获得m(r,b)的估计,我们从 关于logf的 Poisson- Jensen公式出发,然后取其导数加以估计 设 log f(z) lo de 2 pcos、φ-6) (3-b, 注意 Pcf -+a 2 pr cos(q一)+ 即有 log/6-1 log If(oeo)1 Dcs+.-dp p2-b, ∑1 p(x一b 十iC.(1.3.16
对各项取导数得 f(x)_1 log If (pe"io)I 2 (x-b,(e2-b 当|x|=r时 军,之 ( 同样有 (z-b,)(p2 于是 lo g d 0 z 但 (p, f)+m ≤27(p,)+1og1 !f(0) 因此 log*f@ s log 20-3+logt 2T(o, t) +0K0+212+1二 b+(n,)+()+小
对于函数2-a a应用 Jensen公式有 log + le 故 ∑log 同样 f)-N(r,) 于是 <2 log2+logp+ 2log +log*T(e,f)+log \01f(0)+ N(e,t) -N(,+N")-N(r (,1+n (1317) 为了估计r(p)=x(P,1)+n(a,1),记与水(P)相应的密 指量为N(p).我们取p,使p<p<R.由 N(p)≥ ()d4≥n(p)2e, 有 TP,, D f(0)」
于是 lg{()+2}≤lgtp+log+1 t log tlos )+iog+r(p,f)+4log2.(13.18) 为了估计N(p)一N(),注意N()是lg!的凸函数,对于 0<r<p<p'<R有 )-N2≤N(e)-N() log p- logr og p)一N(r) N(P). o d Na)-N()≤2·二{27(,1)+1og0) 取使得 r(e-r) 2p{(,f+log+1+ (1319) f(0) 则0 p<p<R,且 N(p)-()<1. 由(1319)有 (13.20) p
lug*?(p,,D)+ log*log f(0) log6.(13,21) 又由 有 从而 log+ log (1322) 将(13.18),(1,3.20),(13,21)代入(1317),并计及(1.3.22)得 <log 2+2 3+1+log log. If( 0)} +2lo t 3log+ +log*p+log+r(p,f 这就是引理的结论 1,34. Borel引理 在到理13关于m(,)的估计中具有项gr(,),为 了处理这一项,我们还需要关于单调函数的一个引理,这个引理 本质上是属于Be的 引理14,(1)设r(r)在r≤r<∞是连续、非减函数, (0)≥1,则除去r的一个集合E。后恒有 r(≤2() 1323) 且E0的线性测度不超过2 (2)设T()在n≤r<R<0是连续、非减函数,r(ro) ≥1,则除去r的一个集合E后恒有 23