单的事实 引理12.设f1(z),f(#)为|!<R(≤0)内的亚纯函数, 则对于0<r<R有 (r,fi2)-N N(r,f1)+N(r,12) Nir 证.无妨设f(0)与f0)均不等于0和o.在相反的情况, 仅须代替f(0)与f0)以它们在原点 Taylor展式的第一个非零 系数 (r,f1) do+ log if(of0 do+ log If1(0) log I2(0) N(r1)一N +N(r,f2)-N 现在我们证明 Nevanlinna第二基本定理的简单形式即含有 三个密指量的形式。这是1925年R. Nevanlinna1最初的结果 定理14.设f(x)于|z]<R(≤∞)内亚纯.若f0)≠0, l,∞;f(0)0,则对于0<r<R有 T(r,1)≤N(r,+N(r,)+N N1(r)+S(;f) (132) 其中 N)=(2N(r,f)-N(r,f)+N(r, 1.33)
以及 s(,D=m(,, 2) m +lg|0(0)=1)|+182.(1.34) f(0) 证.从恒等式 出发,有 n(,1)≤m(,分)+m(,产2) +Jog2.(13.5) 对于项m(r1)应用 Jensen公式(1.25)得 (r,f) +1o (136) 同样对于项m(,P1)应用Jm公式有 0)-1 对上式右端花括弧中的项应用引1理12得 n(, f1=m(, - f ,1)-(,) +1g()=(13) f(0) 将(13.6)(137)两式代入(1.35)即有(1.3.2),其中M) 与S(r,∫分别由(1.3,3)与(1.34)给出
注.定理14中f(0)÷0,1,∞以及f(0)÷0并非本质的 限制,它们只是在应用Jnsn公式时需要用到.当条件不满足时, 仅须将余顶(,中的项1g10()-1)相应地加以改变 f(0) 即可 1.32.第二甚本定速的普遮形式 现在我们来推导 Nevanlinna第二基本定理的普遍形式,它是 由 Collingwood(和 Littlewood推广 Nevanlinna的结果(定理14) 而得到的 定理15设函数f(x)于|z!<R内亚纯,不蜕化为常数.又 设a2(y=1,2,…,q)为q(≥2)个有穷复数,并且min|an <v2≤q an1≥8>0.若f0)÷0,∞;(0)0,则对于0<r<R m(,f+∑m(r,an)≤27(,1)-N()+S(r,f (138) 这里N()仍由(133)式确定,而 glog+++ log 2 log (139) lf(0) 证.作辅助函数 对于r的固定的值,记EG=1,2,…,q为0≤6<2x上的 集合使得|()-n;!< 当v÷j6∈E;时
!≥1a-4;|-!(re")-a;! 由 F(re°) a f( 有 IF(reis) 1 注意当日∈E;时有θE(≠j),于是 loA 2 log lf(ref°) g 13.10) 当0不属于∪E;时,上式显然也成立 因此对于0≤8<2x,恒有(1,3.10)式,从而 (,F)≥ 2.(1.3.11) 我们再寻求m(rF)的一个适当的上界 (r,F)≤m(r;fF) ≤m(r,F)+r(r,)一N(r)+log if(o) .(1.312)
注意到 (r:f)=m(r,f)+ !) +N(r,,') a7(,)+m(,2)+(,)-x(,m),(1313) 将(1.3.13)代人(1.3.12)后冉与(1.3.11)进行比较,即得 r() 十 ≤27(r,f) {2N(r,)-N(r,)+N(r, )+m()+ log 2+ lost (13.14) 133.对数导数的基本引理 为了以后的应用,我们将证明定理1.4与定理15中的余项 S(r,υ在r趋于R时一般说来比T(rf)的增长缓慢.在定理 14中,对于一个确定的函数f(x),S(rf里的后两项是常数痂 两项具有相同形式叫(,月)和叫(, 少所以我们要研 究m{,)的增长问题 就一些具体的函数f(x)来说,m{→,)的增长性比T( f低,这是容易置信的.例如当f(x)为一个次多项式P(=)时, T(, P)=klor+o(1), ifm(r, P (r>r).又如